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1 欢迎大家学习高等数学课程 数学的重要性已经不言而喻 大量的科学研究和实际问题的解决几乎都要以数学为手段和工具 尤其是数学技术和计算机技术相结合 使得数学向更广泛的领域渗透 高等数学是近代数学的基础 也是在现代科学技术 经济管理 人文科学中应用最广泛的一门课程 本课程的目标是让大家较系统地掌握必需的高等数学基础理论 基本知识和常用的计算方法 形成数学的应用意识 为后继课程学习和利用数学解决实际问题打下基础 机动目录上页下页返回结束 2 高等数学课程简介 高等数学课程内容包括一元函数微积分 空间解析几何与向量代数 多元函数微积分 无穷级数 常微分方程等五个部分 高等数学与初等数学的重要区别在于高等数学引入了极限这一工具 通过这一工具使之能够处理许多初等数学无法解决的复杂的量与量之间的变化关系 机动目录上页下页返回结束 3 正确地理解和掌握极限这一高等数学中最重要的概念和思想方法是学习和领会高等数学中各种概念和方法的基础 把握住这一课程的方法论的核心就等于把握住了课程的脉搏 高等数学课程学习提示 机动目录上页下页返回结束 4 第一章函数 极限与连续 本章中的概念 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 机动目录上页下页返回结束 5 一 常量与变量 区间与邻域 二 函数的概念 三 函数的几种特性 四 反函数 五 复合函数与初等函数 第一节函数 机动目录上页下页返回结束 6 数学的主要研究内容是数量关系 空间形式 其中数量又可以分为两类 通常用字母a b c等表示常量 常量与变量的表示方法 用字母x y t等表示变量 也可以用其他字母表示变量与常量 这里采用的记号是数学上习惯的表示方法 机动目录上页下页返回结束 7 变量在某一过程中有确定的变化范围 如果变化范围是连续的 则可以用区间来表示 称为开区间 称为闭区间 机动目录上页下页返回结束 8 无限区间 机动目录上页下页返回结束 9 邻域 机动目录上页下页返回结束 10 去心邻域 机动目录上页下页返回结束 11 二 函数的概念 本质上是一种数量关系 定义 设x和y是两个变量 D是一个给定的数集 如果对于每个数x D 变量y按照一定法则总有 唯一 确定的数值和它对应 则称y是x的函数 记作y f x 数集D叫这个函数的定义域 x叫做自变量 y叫做因变量 其中 机动目录上页下页返回结束 12 对函数概念进一步的说明 2 约定 定义域是使表达式及实际问题都有意义的自变量集合 3 两个函数相同 指两个函数具有相同的定义域和对应法则 定义域 对应法则和值域称为函数的三要素 值域由定义域和对应法则确定 13 几种特殊的函数举例 符号函数 当x 0 当x 0 当x 0 取整函数 当 机动目录上页下页返回结束 14 分段函数 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同的式子来表示的函数 称为分段函数 15 三 函数的几种特性 设函数 且有区间 1 有界性 使 称 使 称 为有界函数 在I上有界 有界 16 2 单调性 当 时 称 为I上的 称 为I上的 单调增函数 单调减函数 17 3 奇偶性 且有 例如 偶函数 双曲余弦 记 机动目录上页下页返回结束 18 4 周期性 且 则称 为周期函数 若 称l为周期 一般指最小正周期 周期为 周期为 注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数 狄里克雷函数 x为有理数 x为无理数 19 四 反函数 习惯上 的反函数记成 20 反函数的性质 如右图 指数函数与对数函数 互为反函数的函数图像 21 五 复合函数 则称 设有函数两个函数 机动目录上页下页返回结束 例如 函数链 可定义复合函数 22 两个以上函数也可构成复合函数 例如 可定义复合函数 23 基本初等函数与初等函数 1 基本初等函数指以下五类函数 机动目录上页下页返回结束 幂函数 y x R是常数 指数函数 y ax a 0且a 1 对数函数 y logax a 0且a 1 特别当a e时 记为y lnx 三角函数 y sinx y cosx y tanx y cotx y secx y cscx 反三角函数 y arcsinx y arccosx y arctanx y arccotx 24 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 2 初等函数 内容小结 与函数相关的概念 常量与变量 区间与邻域 3 函数