第一部分数学Ⅱ附加题部分专题Ⅱ－5专题验收评估.doc

1(2011江苏高考)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，点N是BC的中点，点M在CC1上设二面角A1DNM的大小为.(1)当90时，求AM的长；(2)当cos时，求CM的长解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设CMt(0t2)，则各点的坐标为A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(，1,0)，M(0,1，t)所以，(1,1，t)，(0,1，t)，(1,0,2)设平面DMN的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n10，n10.即x12y10，y1tz10.令z11，则y1t，x12t.所以n1(2t，t,1)是平面DMN的一个法向量设平面A1DN的法向量为n2(x2，y2，z2)，则n20，n20.即x22z20，x22y20.令z21，则x22，y21.所以n2(2,1,1)是平面A1DN的一个法向量从而n1n25t1.(1)因为90，所以n1n25t10，解得t.从而M(0,1，)所以AM .(2)因为|n1|，|n2|，所以cosn1，n2 .因为n1，n2或，所以|，解得t0或t.根据图形和(1)的结论可知t，从而CM的长为.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO.(1)若1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；(2)若平面CDE平面CD1O，求的值解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，于是，(0，1,1)由cos，.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为.(2)设平面CD1O的向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取x11，得y1z11，即m(1,1,1)由D1EEO，则E，.又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0.得取x22，得z2，即n(2,0，)因为平面CDE平面CD1O，所以mn0，得2.3(2013重庆高考)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.(1)求PA的长；(2)求二面角BAFD的正弦值解：(1)如图，连接BD交AC于O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OCCDcos 1.而AC4，得AOACOC3.又ODCDsin，故A(0，3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)因PA底面ABCD，可设P(0，3，z)由F为PC边中点，知F.又，(，3，z)，AFPB，故0，即60，z2(舍去2)，所以|2.(2)由(1)知(，3,0)，(，3,0)，(0,2，)设平面FAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10，n10，得因此可取n1(3，2)由n20，n20，得故可取n2(3，2)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2.故二面角BAFD的正弦值为.4(2013天津高考)如图， 四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 侧棱A1A底面ABCD，AB/DC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE; (2)求二面角B1CEC1的正弦值(3)设点M在线段C1E上， 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长解：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)证明：易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2) (1，2，1)设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量于是cosm，从而sin m，.所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3) (0,1,0)，(1,1,1)设(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos，|.于是，解得，所以AM.5(2013武汉市武昌模拟)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1.M是棱SB的中点(1)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；(2)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求sin 的最大值解：(1)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)(1,0，2)，(1，2,0)设平面SCD的法向量是n(x，y，z)，则即令z1，则x2，y1，于是n(2，1,1)易知平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，则|cos |，即cos .平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.(2)设N(x,2x2,0)(x1,2)，则(x,2x3，1)又平面SAB的一个法向量为n1(1,0,0)，sin .当，即x时，(sin )max.6.(2013河北衡水二模)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)在PAD中，PAPD，O为AD中点，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接OC，易得OCAD，所以以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1，1，1)，易证OA平面POC，(0，1,0)是平面POC的法向量，cos，.直线PB与平面POC所成角的余弦值为.(2)(0,1，1)，(1,0,1)设平面PDC的一个法向量为u(x，y，z)，则取z1，得u(1,1,1)B点到平面PCD的距离为d.(3)假设存在一点Q，则设 (01)(0,1，1)