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有趣的归纳法江苏省南通第一中学 陈跃辉 （226001） 小明刚刚学习了归纳推理，变得更加爱思考、会提问了。思考1、已知的展开式中共有n+1项；那么，在的展开式中，合并同类项后共有多少项？共性寓于个性之中.先考虑n=1,2,3,4时的情形：n=1时，的展开式中共有3=项；n=2时，的展开式中共有6=项；n=3时， 的展开式中共有10=项；n=4时，的展开式中共有15=项； 猜想：一般地， 的展开式共有项.如何证明呢？小明带着问题去问老师.老师启发道：的展开式（合并同类项后）的各项有何特点？小明答：是关于a、b、c的齐n次多项式.师：对. 的展开式的各项可表示为：,其中且k+l+m=n小明：知道了！关于k,l,m方程的方程k+l+m=n的不同的解(k,l,m)对应这个展开式中的不同项，它们是一一对应的.相当于，将n个“1”放入3个不同的盒子中，共有项(用隔板法).由此可得：推论：的展开式共有项.思考2、由一道高考题引发的思考：同室4人，每人各准备1张贺卡堆成一堆.然后每人从中各取1张不是自己的贺卡，共有多少种不同的取法？小明解完此题后，思考：同室n人，每人各准备1张贺卡堆成一堆.然后每人从中各取1张不是自己的贺卡，共有an种不同的取法，则an=？a2=1;a3=2;a4=9;a5=44;小明上网搜索后得知： 小明尝试用数学归纳法证明：(1) 验证：n=2，3，4，5时，等式都成立;(2) 假设当时，等式成立;则当n=k+1时，如何证？小明在老师的启发下，完成了证明：欲证只需证,只需证：证明：（1）验证：（先从特殊情形中探寻一般证法规律） a2=1=; a3=2=; a4=9=; a5=44=; ）（2） 假设当时，等式与都成立;则当n=k+1时， 因为， 当k是正奇数时， 当k是正偶数时， .综合： 根据（1）、（2）可得：后记：学生一旦掌握了一般的思维规律和推理论证的
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