计算方法-卫宏儒老师.doc

2014级研究生计算方法作业姓名： 学号： 专业： 学院： 成绩：_任课教师：数理学院卫宏儒 2014年10月31日作业一：1、计算下列向量的1-范数、-范数、2-范数。(1) (2) 解：(1) 算法：，程序：x=12,-4,-6,2; norm(x,1) norm(x,inf) norm(x,2)程序运行截图：所以的1-范数、-范数、2-范数分别为：24、12、14.1421。(2) 算法：，程序：x=1,3,4; norm(x,1) norm(x,inf) norm(x,2)程序运行截图：所以的1-范数、-范数、2-范数分别为：8、4、5.0990。2、计算下列矩阵的行范数、列范数、谱范数、F范数。(1) (2) , 解：(1)算法：，程序：x=3 -1 1;1 1 1;2 1 -1; norm(x,inf) norm(x,1) norm(x,2) norm(x,fro)程序运行截图：所以的行范数、列范数、谱范数、F范数分别为5,6,3.788,4.4721。(2) , 取a=2;算法：，程序：A=0 2;-2 0;norm(A,inf)norm(A,1)norm(A,2)norm(A,fro)程序运行截图：所以，当a=2的行范数、列范数、谱范数、F范数分别为2,2,2,2.8284。作业二：1、 用牛顿迭代法求方程在附近的根。要求:给出程序和运行结果，计算结果保留4位有效数字。解：算法：设pn是方程f(x)=0的一个近似根，将f(x)在pn处展开 取展开的线性部分近似f(x)，得近似的线性方程：设，令上式的解为pn+1，得：此式称为牛顿迭代法。设定初值p0，最大迭代步数N，误差限Tol，近似根p1，迭代步数k，则程序：syms x; f=x3-3*x-1; df=3*x2-3;p0=2;N=1000;Tol=1e-5;for k=1:N p1=p0-subs(f/df,x,p0); if abs(p1-p0) A=10 -1 -1;-1 10 -2;-2 -1 5;b=6.2 8.5 3.2;n=3;Tol=1e-3;N=1000;X0=0 0 0;X=X0;for k=1:N for i=1:n X(i)=(b(i)-A(i,:)*X0)/A(i,i)+X0(i); if norm(X-X0)1,warning(发散);end;n=length(b);while kN for i=1:n if i=1 X(1)=(b(1)-A(1,2:n)*X0(2:n)/A(1,1); else if i=n X(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*X(1:n-1)/A(n,n); else X(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*X(1:i-1)-A(i,i+1:n)*X0(i+1:n)/A(i,i); end end end if abs(X-X0) Tol break; end X0=X;k=k+1; end if k=N,warning(已达到迭代次数上限);end;disp(k=,num2str(k),X程序运行截图：所以由运行结果可知：高斯赛德尔迭代法收敛速度明显比Jacobi迭代法快，其只要迭代3次，就能满足精度要求。作业五：1、用归一化算法(归一化幂法)求矩阵的最大摸特征值和特征向量，其中, 计算过程中保留小数点后5位。解：算法：若A有完备的特征向量系x1,x2xn,设A的特征值为，满足：其对应特征向量为x1,x2xn。选择合适的初始向量v（0）令则有程序：A=1 6 4;4 4 2;2 2 3;v=1 1 1;eps=1e-5;N=1000;lamda=0;erro=1;k=1;while(keps) u=A*v; m=max(abs(u); dc=abs(lamda-m); u=u/m; dv=norm(u-v); err=max(dc,dv); v=u; lamda=m; k=k+1;enddisp(lamda);disp(u);程序运行截图：运行结果显示：矩阵的最大摸特征值和特征向量分别为9.3579和。作业六：1、已知的函数值和导数值如下:，。求次数小于等于4的多项式，使得：，。并给出余项公式。解：构造多项式： 则有：所以：因为为四次多项式，知为一次多项式，所以设,则由导数值值可知：解得：所以作业七：1、一维插值问题的应用题：已知某地区在不同月份的平均日照时间的观测数据如下表所示(h/月)，试分析日照时间的变化规律。月份123456789101112日照80.967.267.150.532.033.636.646.852.362.064.171.2解：原理：程序：x=1:1:12;y=80.9 67.2 67.1 50.5 32.0 33.6 36.6 46.8 52.3 62.0 64.1 71.2;xi=1:0.01:12;y1i=interp1(x,y,xi);y2i=interp1(x,y,xi,spline);plot(x,y,o,xi,y1i,-,xi,y2i,-.)程序运行截图：圆圈是已知数据点，折线是线性插值曲线，点划线是三次样条曲线。作业八：1、在某化学反应中，由实验得分解物浓度和时间关系如下：时间t/s0510152025303540455055浓度 y(*10-4)mol/m301.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘法求。解：原理：程序：t=0:5:55;y=0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64;p=polyfit(t,y,2)ti=0:5:55;yi=polyval(p,ti);plot(t,y,o,ti,yi) 即最小二乘拟合二次多项式为：程序运行截图：作业九：1、 用龙贝格求积算法计算积分。计算过程中数值保留6位有效数字。解：原理：程序：function f function z=f(x) z=exp(x); end a=0;b=1; M=1;h=b-a;err=1;J=0;R=zeros(4,4); R(1,1)=h*(f(a)+f(b)/2; while(Jeps) J=J+1; h=h/2; x=a+h:2*h:b-h; R(J+1,1)=R(J,1)/2+h*sum(f(x); for K=1:min(3,J) R(J+1,K+1)=R(J+1,K)+(R(J+1,K)-R(J,K)/(4K-1); end if(J3) err=abs(R(J+1,4)-R(J,4); end end quad=R(J+1,4);disp(vpa(quad,6) B=vpa(R,6);disp(B)