北京工业大学-工程数学-薛毅-作业3.doc

最优化与存储模型实验1. 曲线拟合有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系y =0 + 1x其中x为车速，y为刹车距离，现测得50组数据（xi,yi）(i=1,2,50)(见表3.1),用三种方法（1）平方和最小；（2）绝对偏差和最小；（3）最大偏差最小）估计系数0和1，并分析三种方法的计算效果（注：用LINGO软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线），说明哪一种方法得到有结果更合理。解答：（1） 平方和最小，即为最小二乘法，相应的无约束问题为：max0 ，1Z=i=1n（0 + 1x-y）2LINGO语句：sets: quantity/1.50/: x,y;endsetsdata: x = 4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25; y = 2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36, 60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddatamin=sum(quantity: (a*x+b-y)2);free(a); free(b);运行结果： Local optimal solution found. Objective value: 11353.52 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 18 Variable Value Reduced Cost A 3.932409 0.000000 B -17.57909 0.000000结果分析：Y=3.9324x-17.5791（2） 绝对偏差和最小，即为最小一乘法，相应的无约束问题为：max0 ，1Z=i=1n0 + 1x-yLINGO语句：sets: quantity/1.50/: x,y;endsetsdata: x = 4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25; y = 2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36, 60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddatamin=sum(quantity: abs(a*x+b-y);free(a); free(b);运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 563.8000 Objective bound: 563.8000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 82 Variable Value A 3.400000 B -11.60000结果分析：Y=3.4x-11.6（3） 最大偏差最小，即为最小无穷模法，相应的无约束问题为：max0 ，1Z=max1in0 + 1x-yLINGO语句：sets: quantity/1.50/: x,y;endsetsdata: x = 4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25; y = 2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36, 60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddatamin=max(quantity: abs(a*x+b-y);free(a); free(b);运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 36.00000 Objective bound: 36.00000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 141Total solver iterations: 2897 Variable Value A 4.000000 B -12.00000结果分析：Y=4x-12图中红色线表示（1）平方和最小；黄色线表示（2）绝对偏差和最小；绿色线表示（3）最大偏差最小；分析认为数值分散的几个点如（14,80），（24，120）为异常数据，可得出结论为：异常数据对据对偏差和最小这种算法的影响最小，所以此种方法的结果最为合理。2. 非线性优化问题（1）一家石油公司现有5000桶A类原有，和10000桶B类原油。公司销售两种石油产品：汽油与民用燃料油，两种产品是由A类原油和B类原油化合而成，每种原油的质量指数如下：A类原油为10，B类原油为5，汽油的质量指数至少为8，民用燃料油至少为6。每种产品的需求量与该产品的广告有关：10元的广告费可以带来5桶的汽油需求量，或者是10桶民用燃料油的需求量，汽油的售价是每桶250元，民用燃料油的售价为每桶200元。建立相应的数学模型帮助公司获得最大利润。（假定没有其它类型的产品可以购买）（2）考虑问题（1），并作如下修正：假定我们添加成为SQ的化学添加剂来改善汽油和民用燃料油的质量指数，如果在每桶汽油中添加X量的SQ，则汽油的质量指数将比原指数提高x0.5，如果在每桶民用燃料油中添加X量的SQ，则民用燃料油的质量指数将比原指数提高0.6x0.6，加到民用燃料油的SQ不能超过原体积的5%，类似地，加到汽油的SQ也不能超过原体积的5%，SQ可以在市场上买到，其售价为每桶200元。（3）考虑问题（2），并作如下修改：在购买400桶SQ后，每桶SQ的价格可以折扣100元。注意：（1）X桶的A类原油与y桶的B类原油混合，其质量指数为10x+5yx+y， （2）汽油（或民用燃料油）的体积将随着SQ的添加而增加。解答：（1） 设汽油由X1桶A类原油和Y1桶B类原油化合而成，民用燃料油由X2桶A类原油和Y2桶B类原油化合而成，汽油广告费为S1元，民用燃料的广告费为S2元。目标函数为最大利润：0.5*S1*250+S2*200-（S1+S2）约束条件：销售约束：0.5*S1X1+Y1 ， S2X2+Y2原料约束：X1+X25000 ， Y1+Y210000指标约束：10X1+5Y1X1+Y18 ， 10X2+5Y2X2+Y26 LINGO语句：model:max=0.5*s1*250+s2*200-s1-s2;x1+x2=5000;y1+y2=8*(x1+y1);10*x2+5*y2=6*(x2+y2);0.5*s1=x1+y1;s2=x2+y2;GIN(x1); GIN(x2); GIN(y1); GIN(y2);End运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 3230000. Objective bound: 3230000. Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost S1 10000.00 0.000000 S2 10000.00 0.000000 X1 3000.000 -248.0000 X2 2000.000 -199.0000 Y1 2000.000 -248.0000 Y2 8000.000 -199.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3230000. 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 248.0000 7 0.000000 199.0000结果分析：汽油由3000桶A类原油和2000桶B类原油化合而成；民用燃料油产品由2000桶A类原油和8000桶B类原油化合而成；广告费分别为10000元；石油公司获得最大利润3230000元。（2） 设汽油中增加SQ量k1,民用燃料油增加SQ量k2;目标函数： 0.5*S1*250+S2*200-（S1+S2）-200*（k1+k2）约束条件：销售约束：0.5*S1X1+Y1+k1 ， S2X2+Y2+k2SQ约束： k1X1+Y1*5% ， k2X2+Y2*5%原料约束：X1+X25000 ， Y1+Y210000 指标约束：10X1+5Y1X1+Y1+k10.58 ， 10X2+5Y2X2+Y2+0.6k20.66LINGO语句：model:max=0.5*s1*250+s2*200-s1-s2-200*(k1+k2);x1+x2=5000;y1+y2=(8-k10.5)*(x1+y1);10*x2+5*y2=(6-0.6*k20.6)*(x2+y2);0.5*s1=x1+y1+k1;s2=x2+y2+k2;k1=(x1+y1)*0.05;k2=(x2+y2)*0.05;GIN(x1); GIN(x2); GIN(y1); GIN(y2);End运行结果 Local optimal solution found. Objective value: 3756000. Objective bound: 3756000. Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0Total solver iterations: 7 Variable Value S1 31500.00 S2 0.000000 K1 750.0000 K2 0.000000 X1 5000.000 X2 0.000000 Y1 10000.00 Y2 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3756000. 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 390791.9 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000结果分析：只生产汽油产品，不生产民用燃料油，汽油由5000桶A类原油和10000桶B类原油化合而成，增加SQ添加剂750桶，汽油广告费31500元，石油公司获得的利润最大为3756000元。（3） 分析可知，约束条件与（2）问相同目标函数：0.5*S1*250+S2*200-（S1+S2）-200*400-100*（k1+k2-400）LINGO语句：model:max=0.5*z1*250+z2*200-z1-z2-200*400-100*(k1+k2-400);x1+x2=5000;y1+y2=(8-k10.5)*(x1+y1);10*x2+5*y2=(6-0.6*k20.6)*(x2+y2);0.5*z1=x1+y1+k1;z2=x2+y2+k2;k1=(x1+y1)*0.05;k2600,C(Q)=8;Q=600,C(Q)=10 Lingo语句：D=30; C_P=0.05; C_D=100; C=if(Q #lt# 600, 10, 8 ); min =1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C*D; 运行结果： Linearization components added: Constraints: 15 Variables: 10 Integers: 6 Local optimal solution found. Objective value: 260.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 5 Variable Value Reduced Cost D 30.00000 0.000000 C_P 0.5000000E-01 0.000000 C_D 100.0000 0.000000 C 8.000000 0.000000 Q 600.0000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1064968. 2 0.000000 -1065260. 3 -100000.0 0.2600000E-02 4 0.000000 0.1666389E-01 5 0.000000 -1.000000由运行结果可知: 费用最小为260元，一次采购量为600件，由于订货提前时间为21天，订货点为21D=21*30=630件。这样最优库存策略为当存储量下降到630件时，订货600件，最优库存总费用为每天260元。4. 库存问题某公司可自己生产某种产品，也可向某个合同商购买。假如资产，则每次启动机器的成本为20元，生产速度为每天100个，如果是向合同商购买，则每次订货费为15元，不论自产还是购买，每件产品的库存费用都为每天0.02元。公司对该产品的年使用量为26000个，假定不允许出现缺货，公司是该购买还是该自己生产呢？解答：当公司自己生产产品时，设库存量为X，最小库存量为0；目标函数：0.5*0.02*365*X+15*26000/XLINGO语句：Model:min=0.5*0.02*365*X+15*26000/X;GIN(X);End运行结果： Local optimal solution found. Objective value: 2386.211 Objective bound: 2386.210 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0Total solver iterations: 122 Variable Value Reduced Cost X 327.0000 0.2720007E-02Row Slack or Surplus Dual Price 1 2386.211 -1.000000结果分析：当库存量为327时，平均费用最小为2386.211当公司购买产品时，设单次生产量为Q目标函数：0.5*0.02*365*(1-26000/36500)*Q+20*26000/QLINGO语句：model:min=0.5*0.02*365*(1-26000/36500)*Q+20*26000/Q;GIN(Q);End运行结果： Local optimal solution found. Objective value: 1477.837 Objective bound: 1477.836 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0Total solver iterations: 98Variable Value Reduced Cost Q 703.0000 -0.2186426E-02Row Slack or Surplus Dual Price1 1477.837 -1.000000结果分析：当单日订货量为703时，平均费用最小为1477.837，比公司自己生产时的费用小，所以应当采取购买产品的方式。5. 约束优化问题某仓库要贮存A，B，C三种货物，相应的订货费、需求、存贮费和所占面积如表3.2所示。三种货物所占的面积不能超过可用总存贮面积，试确定这三种货物的最优订货量，及最优存贮费用。解答：根据题意设C_P为存储费；C_D为订货费，D为需求数，Q为进货数。所占面积小于等于24平方米，将ABC三种最小费用累加，数学模型如下：Min =1/2*C_P*Q+C_D*D/Q+C*DLingo语句: sets: kinds/1.3/: C_P, D, C, W, Q, C_D, N; endsetsmin=sum(kinds: 0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);sum(kinds: W*Q)=W_T; for(kinds: N=D/Q;gin(N); data: C_D = 10,5,15;D = 2, 3, 4;C_P = 0.3, 0.1, 0.2;W = 1.0, 1.0, 1.0;W_T = 24;Enddata运行结果：Local optimal solution found.Objective value: 30.85000Extended solver steps: 7 Total solver iterations: 141 Variable Value Reduced Cost W_T 24.00000 0.000000 C_P( 1) 0.3000000 0.000000 C_P( 2) 0.1000000 0.000000 C_P( 3) 0.2000000 0.000000 D( 1) 2.000000 0.000000 D( 2) 3.000000 0.000000 D( 3) 4.000000 0.000000 C( 1) 0.000000 0.000000 C( 2) 0.000000 0.000000 C( 3) 0.000000 0.000000 W( 1) 1.000000 0.000000 W( 2) 1.000000 0.000000 W( 3) 1.000000 0.000000 Q( 1) 2.000000 0.000000 Q( 2) 3.000000 0.000000 Q( 3) 4.000000 0.000000 C_D( 1) 10.00000 0.000000 C_D( 2) 5.000000 0.000000 C_D( 3) 15.00000 0.000000 N( 1) 1.000000 9.699999 N( 2) 1.000000 4.850000 N( 3) 1.000000 14.60000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 30.85000 -1.000000 2 15.00000 0.000000 3 -0.2117548E-08 9.699999 4 0.000000 4.850000 5 0.000000 14.60000由运行结果可知：三种货物最有订货量分别为：A货物订货2件，B货物订货3件，C货物订货4件；最优存贮费用为30.85元。6. 加分实验（选址问题）某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标a,b表示，距离单位：公里）及水泥日用量d（单位：吨）由表3.2给出。目前有两个临时料场位于P（5,1），Q（2,7），日储量各由20吨。请回答以下两个问题：（1）假设从料场到工地之间均有直线道路相连，试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。（2）为了进一步减少吨公里数，打算舍弃目前的两个临时料场，改建两个新的料场，日储量仍各为20吨，问应建在何处，与目前相比节省的吨公里数有多大。解答：（1） 令pi为位于P(5,1)的临时料场运到工地i的水泥量/吨，令q为位于Q(5,1）的临时料场运到工地i的水泥量/吨。根据题意有列表：项目规划i=1i=2i=3i=4i=5i=6P到工地i的距离375833.75835.85774.06975.85237.1151Q到i的距离公里/5.79879.19922.70424.251.1185.3033由P运到工地I的水泥量/吨P1P2P3P4P5P6由Q运到工地I的水泥量/吨Q1Q2Q3Q4Q5Q6工地I需要的水泥量/吨3547611由此可以得出目标函数为：Z=3.7583p1+3.7583P2+5.8577p3+4.06971p4+5.8523p5+7.1151p5+7.1151p6+5.7987q1+9.1992q2+2.7042q3+4.25q4+1.1180q5