离散时间被控对象控制器设计--课件2015.10.20.doc

离散时间被控对象控制器设计教学大纲：(1) 线性确定性被控对象控制器设计方法 极点配置控制器、基于极点配置的PID控制器(2) 线性随机被控对象控制器设计方法 最小方差控制器/调节器、广义最小方差控制器、广义预测控制器、广义最小方差前馈控制器、多变量广义最小方差解耦控制器(3) 参数未知线性随机被控对象控制器设计 最小方差自校正调节器、最小方差自校正控制器参考书：1 柴天佑，岳恒，自适应控制理论及应用, 清华大学出版社, 20152 舒迪前，饶立昌，柴天佑，自适应控制，东北大学出版社，19933 G. C. Goodwin, 孙贵生，自适应滤波、预测与控制，科学出版社 4 Karl J. Astrom, Bjorn Wittenmark，自适应控制，科学出版社 1. 线性确定性被控对象控制器设计方法1.1极点配置控制器1.1.1 控制问题描述设被控对象的数学模型为 (1.1.1)式中，和分别为k时刻被控对象的输出和输入量，为单位后移算子，和分别为关于的和阶多项式，可以表示为 (1.1.2) (1.1.3)如果被控对象的时延为，将()置为零即可。假设与互质，即两者无公因子。这里，并不要求时延是已知的。控制的目标：将闭环系统的极点配置到理想位置，并要求闭环传递函数的稳态增益为1，消除输出与参考输入之间的稳态误差。令是首1的稳定多项式，其零点是理想的闭环系统极点。1.1.2 极点配置控制器设计采用具有下面结构的极点配置控制器方程 (1.1.4)式中，为多项式，其阶次和系数待定，控制器的结构图如图1.1.1所示。图1.1极点配置控制器结构框图为选择极点配置控制器中的未知多项式，和，将(1.1.4)式代入(1.1.1)式得到闭环系统方程，即 (1.1.5)即 (1.1.6) 下面的问题就是如何根据闭环系统方程(1.1.6)式，求取控制器方程中的未知多项式，和，并使得闭环系统极点配置到理想位置，实现稳态跟踪。 丢番图方程在多项式中的一般形式为式中，和为三个已知非零多项式，且，和三者之间无公因子，和为未知的待求多项式。这是一个未知数个数多于方程个数的方程，因此是一个不定方程。如果和互质，也就是和之间没有公因子，则上述方程总存在解，并且存在多个解。例如，如果和是上述方程的一个特解，则也是该方程的解，其中为任意多项式。控制问题中我们通常是求出或的最小阶解，而最小阶解则是Diophantine方程在最小阶限制下的唯一解。以确定的最小阶解为例加以说明。确定和的阶次和的方法是根据方程两边的同次幂系数相等的原则建立一组线性方程。因为和的系数未知待求，所以方程组中的未知数的个数为和的阶次和之和再加2，即未知数个数为；而方程组中方程式的个数为，或，或，其中，和分别代表，和的阶次。我们可以看出丢番图方程有唯一解的条件是方程个数等于未知数个数，即确定的最小阶解，也就是限制的解，在此条件下，可以确定 课堂练习：已知多项式，求取阶次最小的多项式，满足丢番图方程。1.1.3 极点配置算法下面我们介绍四种极点配置算法。 （1）对消所有稳定零点，保留所有不稳定零点假设被控对象为非最小相位系统，则需将分解 (1.1.7)式中为由所有不稳定零点组成的因式，为由所有稳定零点组成的因式配以适当的比例，令 (1.1.8)则(1.1.6)式可以化简为 (1.1.9)显然闭环极点配置方程为 (1.1.10)阶次限制关系为 (1.1.11) (1.1.12) (1.1.13)闭环极点配置方程(1.1.10)式相当于已知, , ,待求和的Diophantine方程，在上述阶次匹配限制下存在唯一解。因此闭环系统方程(1.1.6)式可写成 (1.1.14)此外，由(1.1.14)式可看出：为了消除跟踪误差必须合理地选择。下面介绍两种消除跟踪误差的方法。(I) 引入积分器为了引入积分器，选择使，即取，则闭环极点配置方程为 (1.1.15)相当于已知, , ，待求和的Diophantine方程，这时，。由(1.1.14)式知，为了使和之间的传递函数稳态时为1，必须取为 (1.1.16)(II) 不引入积分器如果不引入积分器，由(1.1.14)式知为使和之间的传递函数稳态时为1，必须取为 (1.1.17)上述极点配置控制算法可适用于开环不稳的非最小相位被控对象，但要求分解为和。下面的三种极点配置算法不需要分解。（2）对消所有过程零点当被控对象是最小相位时，即的全部零点在平面单位圆内，假定被控对象的时延为d，可将写为，这时对象模型变为 (1.1.18)取 (1.1.19)则闭环传递函数为 (1.1.20)于是极点配置方程式变为 (1.1.21)阶次限制为 (1.1.22) (1.1.23) (1.1.24)因与互质，在上述阶次配合下，和有唯一解。多项式的选取原则与（1）相同。当引入积分器时，即时，取 (1.1.25)当不引入积分器时，取 (1.1.26)（3）保留所有过程零点当被控对象有过程零点在单位圆外，可采用保留过程全部零点的极点配置算法，此时的极点配置方程应写成 (1.1.27)阶次限制关系为 (1.1.28) (1.1.29) (1.1.30)由于与互质，上式一定有解。的选取原则与（1）和（2）相同。当引入积分器时，即时，取 (1.1.31)当不加积分器时，取 (1.1.32)（4）保留所有过程极点当被控对象开环稳定，即的全部零点在平面的单位圆内时，则可将的所有零点作为闭环系统的一部分极点处理。首先选择为 (1.1.33)极点配置方程变为： (1.1.34)如选择为，则上式可改写成 (1.1.35)阶次限制关系为， (1.1.36) 的选取原则为，引入积分器时，选择, (1.1.37)不引入积分器时 (1.1.38)1.2 PID控制器模拟PID控制器具有如下形式： (1.2.1)式中， (1.2.2)为理想输出，为比例增益，为积分时间，为微分时间。 采用计算机来实现模拟PID控制，首先需要将模拟PID控制器离散化，以便获得相应的数字化PID控制器算式，其传递函数为 (1.2.3)当采用反向差分近似对(1.2.1)式进行离散，并写出增量形式时有 (1.2.4)其中，为采样周期，分别为积分系数和微分系数。1.2.1 控制问题描述设被控对象的数学模型为确定性线性模型 (1.2.5)式中， (1.2.6) (1.2.7) 控制目标：针对上述被控对象，设计数字PID控制器(1.2.4)式，使得被控对象的输出与理想输出之间的误差趋于零。1.2.2 PID控制器设计由(1.2.4)式可知PID控制器设计的关键是确定控制器参数、，。控制器(1.2.4)的传递函数为 (1.2.8)式中， (1.2.9) (1.2.10) (1.2.11)由(1.2.8)式可以导出 (1.2.12)即 (1.2.13)式中和是的多项式，其阶次分别为， (1.2.14) (1.2.15)将(1.2.13)式与(1.1.4)式比较，可以看出(1.2.13)式是极点配置控制器(1.1.4)式的特殊形式，即将(1.1.4)式中的看成，按(1.2.14)式取，按(1.2.15)式取，取为，则(1.1.4)式就变成了(1.2.13)式。将(1.2.13)式代入被控对象(1.2.5)式，有 (1.2.16)设闭环特征多项式为，即的零点就是理想的闭环极点，则有 (1.2.17)由(1.2.14)式知必须满足，必须是二阶多项式。于是选择 (1.2.18) (1.2.19)式中可以看作是滤波器，是待定的滤波器系数。由(1.2.6)式、(1.2.7)式、(1.2.18)式、(1.2.19)式，可得： (1.2.20)由(1.2.20)式知：未知数个数为4，这样由(1.2.20)式左边两项所确定的方程个数都为4。只有，(1.2.20)式才有唯一解。在实际中可以选择，这样就可以由连续被控对象特征多项式的和直接决定的系数，即 (1.2.21) (1.2.22)由设计者给定和，由(1.2.21)式和(1.2.22)式确定闭环特征多项式，由(1.2.20)式可求解出和，由(1.2.13)式、(1.2.18)式和(1.2.19)式可得即 (1.2.23)1.2.3 性能分析由被控对象(1.2.5)式和控制律(1.2.23)式可得闭环系统方程为 (1.2.24) (1.2.25)可知系统闭环特征多项式为 (1.2.26)由于稳定即可保证闭环系统稳定，且由于，由(1.2.24)式可知，即控制器(1.2.23)式可以消除稳态跟踪误差。1.2.4 仿真实验例1极点配置 PID控制器的仿真实验针对如下开环不稳定的非最小相位的被控对象 参考输入为 选取；。 控制器参数为： 控制律为：图2.1 被控对象参数已知时的极点配置PID控制器的控制效果作业1：针对如下单输入单输出被控对象（1）判断被控对象是最小相位的还是非最小相位的？是开环稳定的还是开环不稳定的？（2）试用保留所有过程零点的极点配置方法设计极点配置控制器，其中参考输入选为如下方波选择为要求：(1) 给出控制器参数多项式； (2) 给出仿真程序以及被控对象输入和输出曲线。2. 线性随机被控对象控制器设计方法2.1 最小方差调节器/控制器2.1.1控制问题描述考虑如下单输入单输出的被控对象模型 (2.1.1)式中，和分别为被控对象的输出、输入和噪声，为单位后移算子。，和为的多项式，为被控对象时延，并且。多项式，和可以表示为 (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)为独立的随机噪声，满足 (2.1.5) (2.1.6) (2.1.7)(2.1.5)(2.1.7)式表示随机噪声的均值为零，方差为有限正值，方差的采样均方差有界。为稳定多项式，即被控对象为最小相位系统，为稳定多项式，即和的根全部在平面单位圆内，或当时，。控制目标：针对被控对象的数学模型(2.1.1)，设计最小方差调节器和最小方差控制器，使被控对象的输出y(k+d)跟踪理想输出的变化，并使它们之间的误差的方差极小，即min J式中， (2.1.8)式中为时刻的理想输出，表示为 (2.1.9)式中为参考输入，为加权多项式，也可将其理解为参考模型。这样可以看成参考模型输出。对于调节问题，参考输入=0，即理想输出=0，即最小方差调节器的性能指标为min J式中， (2.1.10)由于被控对象输出是一随机变量，如果将理想输出看成是被控对象输出的均值，那么性能指标(2.8)就表示被控对象输出的方差。显然使(2.8)式极小的最优控制就是使时刻被控对象输出与理想输出之间的误差的方差最小的控制。2.1.2最小方差调节器/控制器设计(1)最优预报最优预报必须满足如下两个条件： 具有最优性，即使预报误差的方差最小，即 (2.1.12) 具有可实现性，即应该是时刻和以前时刻()的输入输出数据的线性组合。 首先，引入Diophantine方程 (2.1.13)上式中引入项可使的阶次为，这样可将时刻的输出化成由，,， 组成的一项和由噪声，, 组成的另一项之和，因这两项不相关，故可求出的最优顶报。对于方程(2.1.13)，显然和互质，故(2.1.13)一定有解。(2.1.13)式有唯一解的条件是方程个数等于未知数个数，即 (2.1.14) (2.1.15) (2.1.16)由上式可确定和的最小阶次 (2.1.17)下面求最优预报。用乘(2.1.1)式两边得 (2.1.18)利用(2.1.13)式，上式变为 (2.1.19)或 (2.1.20)上式左边是时刻的输出，右边第一项如果看成是预报，那么右边第二项就可以看成是预报误差。将(2.1.20)式代入预报性能指标有 (2.1.21)因为是以及的线性组合，是的线性组合，这两项互不相关，因此(2.1.20)式可以写成 (2.1.22)显然只有当预报值取 (2.1.23)时，性能指标(2.1.21)才能达到最小值，即 (2.1.24)其中，见(2.1.6)式。(2)最小方差控制律下面根据最优预报来求最优控制律。由(2.1.20)和(2.1.23)式知 (2.1.25)将(2.1.25)式代入(2.1.8)式 (2.1.26)上式中第二项不含有，不可控，欲使最小必须使 (2.1.27)这时性能指标(2.1.8)式的最小值为 (2.1.28)显然(2.1.27)式表明最优控制律可以通过使的最优预报等于理想输出得到。由(2.1.23)式可得最小方差控制律为 (2.1.29)即 (2.1.30)式中对于最小方差调节器，理想输出=0，因而最优预报，所以最小方差调节器为 (2.1.31)即 (2.1.32)图2.1给出了被控对象模型已知时的最小方差控制器的设计原理框图。控制目标是让被控对象输出与理想输出之间的误差的方差最小，从而确定了最小方差控制器的性能指标(2.1.8)。通过求被控对象(k+d)时刻的输出y(k+d)的最优预报，使最优预报等于理想输出，使最小方差性能指标极小，求得最小方差控制器的结构和参数。由图3.2.1可以看出，最小方差控制律与常规反馈控制器具有相同的结构，只不过最小方差控制器的前馈项为，反馈项和控制项是预先由(2.1.13)式确定的。图2.1 被控对象模型已知时的最小方差控制器的设计原理图课堂练习：最小方差调节律设计被控对象的模型为求最小方差调节律。(3)性能分析定理2.1.1 如果被控对象(2.1.1)满足下列条件：(1)稳定，稳定；(2)，那么以最小方差控制律(2.1.30)或以最小方差调节律(2.1.31)作用于被控对象(2.1.1)时，所导致的闭环系统是稳定的，即以概率1有， (2.1.35)且被控对象的输出与理想输出之间的误差的方差等于 (2.1.36)证明：由被控对象(2.1.1)式和控制器方程(2.1.30)式可得闭环系统方程： (2.1.37) (2.1.38)(2.1.37)式可以化简为 (2.1.39)这样从(2.1.38)和(2.1.39)式可以看出：决定闭环系统稳定性的是和。对于调节问题，于是闭环系统方程可简化为 (2.1.40) (2.1.41)由于和稳定，且，则由(2.1.38)和(2.1.39)式有 (2.1.42) (2.1.43)故(2.1.35)式得证。由最小方差控制律(2.1.30)式可得 (2.1.44)由Diophantine方程(2.1.13)和(2.1.44)式，可得 (2.1.45)因此有 (2.1.46)由被控对象模型(2.1.1)式可知于是可得 (2.1.47)代入性能指标(2.1.8)式，得到 (2.1.48)采用同样的方法可证由最小方差调节律(2.1.32)作用于被控对象(2.1.1)，被控对象的输入和输出的方差是均方有界的，且性能指标 (2.1.49)2. 2广义最小方差控制器2.2.1控制问题描述设被控对象的动态模型为 (2.2.1)式中各项定义与(2.1.1)式一样，不同的是可以为不稳定多项式，即被控对象可以是非最小相位系统。控制目标：针对被控对象的数学模型(2.2.1)，设计广义最小方差控制器，使的广义输出误差的方差极小，即min J其中 (2.2.2)式中广义输出定义为 (2.2.3)广义理想输出定义为 (2.2.4)广义输出误差定义为 (2.2.5)其中为参考输入，和为算子的加权多项式。因此性能指标(2.2.2)可以表示为 (2.2.6)于是求使(2.2.2)式极小的最优控制就变成了求使广义输出误差方差为极小的最优控制问题了。这样就可以采用求解最小方差控制律的办法来求解使(2.2.2)式最小的控制律。2.2.2广义最小方差控制器设计(1)最优预报同最小方差控制律一样，只要求得了广义输出的最优预报，使与广义理想输出相等，即可得到最优控制律，此时广义输出误差最小。引入下Diophantine方程 (2.2.7) (2.2.8) (2.2.9) (2.2.10)。 (2.2.11)用乘(2.2.1)式并利用(2.2.7)式，采用上节求最优预报的方法可求得广义输出的步超前最优预报为 (2.2.12)此时 (2.2.13)(2)广义最小方差控制律将(2.2.13)式代入(2.2.2)式采用求最小方差控制律的方法可得广义最小方差控制律为 (2.2.14)由(2.2.12)式和(2.2.14)式可得最优控制律得另一形式 (2.2.15)式中， (2.2.16) (2.2.17)它与最小方差控制律(2.1.30)式具有相同的结构。区别仅在于和不同，在最小方差控制律中，而在广义最小方差控制律中，最小方差控制律中由(2.1.13)式给出，广义最小方差控制律中由(2.2.7)式给出。图3.4.1 广义最小方差控制器的结构图从(2.2.15)式中可看到无论是最小方差控制律还是广义最小方差控制律都与一般极点配置控制器具有类似结构。广义最小方差控制器的结构图如图3.4.1所示。(3)性能分析广义最小方差控制器必须要保证闭环系统的稳定性，即被控对象的输入和输出均方有界，即， (2.2.18)并且使得性能指标(2.2.2)式达到最优，即使被控对象的广义输出与广义理想输出之间的误差的方差达到最小，即为 (2.2.19)闭环系统的稳定性和最优性由定理3.4.1给出。定理2.2.1 假定：(1) 是稳定的，(2) 以概率1有 (3) 离线选择加权多项式和，使是稳定的，即， (2.2.20)那么广义最小方差控制律(2.2.15)能保证闭环系统是稳定的，即以概率1有 (2.2.21) (2.2.22)且使得性能指标(2.2.2)式达到最优，即使被控对象的广义输出与广义理想输出之间的误差的方差达到最小，即为 (2.2.23)证明：闭环系统的输出和输入方程可分别由将控制律(2.2.15)写成u(k)和y(k)的表达式后再代入被控对象(2.2.1)求得，即 (2.2.24) (2.2.25)由于是稳定的，有界，满足，使用附录中的引理(A.1.2)，再由(2.2.24)式和(2.2.25)式可得 (2.2.26) (2.2.27)此即(2.2.21)和(2.2.22)式。 由广义最小方差控制律(2.2.15)式可得 (2.2.28)由Diophantine方程(2.2.7)和(2.2.28)式，可得 (2.2.29)因此有 (2.2.30)由被控对象模型(2.2.1)式可知于是可得 (2.2.31)代入性能指标(2.2.6)式，得到 (2.2.32)(4)加权项选择由定理2.2.1知：和的选择直接关系到参数已知时用广义最小方差控制律时闭环系统的稳定性，(2.2.20)式给出了选择加权多项式和的准则。不管或是否稳定，即不管是开环不稳定或是非最小相位系统，都可通过适当选择和使闭环系统稳定。因此广义最小方差控制器可以控制开环不稳定或非最小相位系统。从闭环系统方程(2.2.24)式还可看出：加权多项式的选择还关系到是否能消除跟踪误差的问题，即参考输入与被控对象输出之间的稳态增益是否为1。下面介绍两种选择加权多项式、和的方法。一种是引入积分器，即使，简单的取法是令 (2.2.33)根据(2.2.20)式，为保证闭环系统稳定，选择和满足， (2.2.34)为消除稳态误差，选择 或者 (2.2.35)另一种是不引入积分器，事先选择稳定的多项式，并令 (2.2.36)(2.2.36)式可以看作丢番图方程，通过最小阶限制存在唯一的多项式、满足(2.2.36)式。为消除稳态误差，选择(对阶跃输入，取) (2.2.38)一般来说加入积分器来消除稳态跟踪误差的方法鲁捧性较强，由(2.2.24)式可知加入积分器后会使闭环系统极点位置改变，对有些被控对象来说，容易使极点位置趋近单位圆，这样容易使被控对象输出波动增大甚至不稳定。在这种情况下，采用不加积分作用消除稳态误差的方法能获得好的控制效果，因为这种方法不改变闭环系统的极点位置。作业2： 被控对象为如下的开环不稳定非最小相位系统，式中，为均值为0，方差为0.2的独立随机噪声。设参考输入为如下方波信号设计广义最小方差控制器, 给出被控对象输入以及输出曲线。2.3 广义预测控制器广义预测控制是广义最小方差控制的一个推广，它是采用了长时域的多步输出预测，滚动实现优化的控制策略，适用于时滞和非最小相位对象，具有改善控制性能和提高鲁棒性等优点。2.3.1 控制问题描述广义预测控制算法所针对的被控对象模型是CARIMA模型(受控自回归积分滑动平均模型)，它是CARMA模型的一种发展，适用于存在非平稳随机扰动的情况。被控对象描述如下 (2.3.1)式中 (2.3.2)这里假定被控对象的时延，若，则只需令多项式中前项系数为零即可；表示非平稳扰动项，即在随机时刻产生的幅度大小为随机的扰动，如工业过程中物料的变化，基于能量平衡的运动和可用布朗运动描述的过程，它们的近似模型为 (2.3.3)式中表示差分算子。将(2.3.3)式代入(2.3.1)式即得CARIMA模型如下 (2.3.4)令 (2.3.5) (2.3.6)则对象模型可表示为如下形式 (2.3.7)为了突出方法原理和推导简单起见，本书令，于是有 (2.3.8)CARIMA模型具有下列特点：(1) 可描述一类非平稳扰动；(2) 可保证被控对象输出稳态误差为零。CARIMA模型能自然地把积分作用纳入控制律中，因此设定值和阶跃负载扰动引起的偏差将自然消除。控制目标：针对被控对象的数学模型(2.3.8)，设计广义预测控制器，使得在k+j时刻被控对象的输出y(k+j)与理想输出（j=1,2，N1）的误差平方的累加以及控制输入增量（j=1,2，N2）的平方累加之和的期望值极小，即min J其中 (2.3.9)式中为预测时域长度；为控制时域长度；常数为控制加权系数，由控制器设计者确定，确定的原则是要保证闭环系统稳定，并且具有良好的性能。2.3.2 广义预测控制器设计 广义预测控制具有预测模型，滚动优化，反馈校正三个基本特征。(1)预测模型广义预测控制器设计的任务是设计一个递推控制律，它在k时刻产生个未来的控制序列，而这些控制序列作用于被控对象的结果是使得性能指标(2.3.9)为极小。为表达简洁起见，定义 (2.3.10) (2.3.11) (2.3.12)将性能指标(2.3.9)式表示成如下矩阵形式 (2.3.13)与最小方差控制类似，我们仍然需要在k时刻求取对未来的输出的最优预报。不同的是，我们需要得到未来一个时间段k+1, k+里的一个多步预测，因此需要建立预测模型，然后求取最优预报序列。引入如下Diophantine方程 (2.3.14)式中，和为已知多项式，和由和预测时域唯一确定，的阶次为，的阶次为。 将被控对象模型(2.3.8)式两端同乘以可得 (2.3.20)将(2.3.14)式带入(2.3.20)式可得： (2.3.21)整理得 (2.3.22)我们再按照下面的方式将阶多项式分解为两项之和 (2.3.23)式中，阶多项式为的前j个系数组成的多项式，阶多项式为由后面剩下的个系数组成的多项式。这样，由(2.3.22)式可得预测模型 （j=1,2，N1） (2.3.28)注意到多项式的阶次为，上式右侧第一项代表未来的控制输入的作用(也是我们在控制律中要求取的)，第二项代表了以前的控制输入的作用，第三项代表被控对象当前和过去的输出的作用，同时注意到的阶次也为，说明第四项中的噪声项均是未来时刻的。因此，在k时刻对未来的k+j时刻的最优预报为 (2.3.29)且有下式成立 (2.3.30)定义 (2.3.31) (2.3.32) (2.3.33)由多项式的系数倒序排列先组成一个维下三角方阵，再截取前列定于为矩阵 (2.3.34)由此，预测模型(2.3.28)式可以写成如下的向量形式 (2.3.35)(2)最优控制律把(2.3.35)带入(2.3.13)，将性能指标关于求偏导，则由极值的必要条件可得： (2.3.36)又因为 (2.3.37)所以 (2.3.38)把(2.3.35)带入(2.3.38)可得使得性能指标(2.3.13)式取最小值的向量形式的最优控制律为 (2.3.39)(3)滚动优化和反馈校正(2.3.39)式的含义在于，在k时刻，给定未来一段时间(长度为)的参考轨迹根据当前及以前时刻的被控对象的输出以及以前时刻的控制输入，可以确定未来一段时间(长度为)的控制序列如果将上述控制序列加入被控对象，理论上应当使得性能指标达(2.3.13)式到极小。由于模型本身的不确定性，预测控制采用滚动优化的方式，因此，在控制器闭环运行的过程中，在每一时刻，控制器只保留该控制序列的第一项，作用到被控对象上，而将后面的控制序列完全丢掉。在下一时刻，即k+1时刻，采用最优控制律(2.3.39)式可以求得k+1时刻开始直到一段未来时间（长度为N2）的控制序列，只保留控制序列的第一项，作为控制输入加到被控对象(2.3.8)式，重复上述过程实现滚动优化和反馈校正。每一个控制周期中求控制序列需要采用(2.3.16)式和(2.3.23)式解()个多项式和、和，计算量很大，为了节省计算时间，直接求，令的第一行元素为，并注意到的第一个元素是，由(2.3.39)式可得当前的控制量的递推求解公式为： (2.3.40)求解可以采用Diophantine方程的递推求解算法，详见文献317。(4)性能分析广义预测控制器必须要保证闭环系统的稳定性，即被控对象的输入和输出的均方和是有界的，即， (2.3.41)并且使得性能指标(2.3.9)式达到最优，即使得被控对象(k+j)时刻的输出y(k+j)与理想输出（j=1,2，N1）的误差平方的累加以及(k+j)时刻的控制输入增量 (j=1,2，N2)的平方累加之和的期望值极小，即闭环系统的稳定性由定理3.8.1给出。定理3.8.1 假定：(1) 以概率1有 (2) 凑试选择和加权常数（与相关，与相关，与、均有关）使得下式成立：， (2.3.42)其中， (2.3.43) (2.3.44) (2.3.45)则，广义预测控制律(2.3.40)能保证系统是稳定的，即以概率1有 (2.3.46) (2.3.47)证明：由被控对象(2.3.8)式和控制器方程(2.3.40)式可得闭环系统方程： (2.3.48) (2.3.49)由于是稳定的，有界，满足，使用附录中的引理(A.1.2)，再由(2.3.49)式和(2.3.48)式可得 (2.3.50) (2.3.51)此即(2.3.46)和(2.3.47)式。 由广义预测控制律(2.3.40)式可得 (2.3.52)由于广义预测控制律(2.3.40)满足(2.3.38)式，因此满足如下等式：故，广义预测控制律可以看成极小化如下性能指标获得的： (2.3.53)其中，多项式为的第一行元素组成的多项式，即，给(2.3.35)式左乘且两边相加得： (2.3.54)上式可写成 (2.3.55)上式的第一行可写成 (2.3.56)其中， (2.3.57)定义 (2.3.58)则(2.3.56)式可以写成 (2.3.59)把(2.3.59)带入到(2.3.53)并注意到与，及，是不相关的，则有由广义预测控制律(2.3.52)可知，上式第一项为零，故 (2.3.60)由(2.3.57)可知： (5) N1、N2以及的选择广义预测控制方法由于采用了多步预测，滚动优化和反馈校正的控制策略，更多地利用了反映被控对象动态行为的有用信息，提高了对被控对象时滞和阶次变化的鲁棒性，从而得到好的控制性能。但是，由于广义预测控制采用多步预测的方式，与一般的单步预测比较，增加了预测时域长度和控制时域长度这两个参数。而这两个参数以及加权矩阵对控制性能产生重要的影响。下面给出选择它们的一般性原则。(1) 预测时域长度 为了使滚动优化真正有意义，应使得包括被控对象的真实动态部分，也就是说应把当前控制影响较多地所有响应都包括在内。一般应大于的阶次，或近似等于过程的上升时间。在实际应用中，建议用较大的，使它超过被控对象脉冲响应的时滞部分或非最小相位特性引起的反向部分，并覆盖被控对象的主要动态响应。的大小对于系统的稳定性和快速性有很大的关系。较小，虽然快速性好，但稳定性和鲁棒性较差；较大，虽然鲁棒性好，但动态响应慢，增加了计算时间，降低了被控对象的实时性。实际选择时，可在上述两者之间取值，使闭环系统具有所期望的鲁棒性，又具有所要求的快速性。(2) 控制时域是一个很重要的设计参数，由于优化的输出预测最多只能受个控制增量的影响，所以应有。一般情况下，越小，则跟踪性能越差。为改善跟踪性能，就要求增加控制步数来提高对被控对象的控制能力，但随着的增大，控制的灵敏度得到提到，被控对象的稳定性和鲁棒性随之降低。而且当增大时，矩阵的维数增加，计算量增大，使系统的实时性降低。因此，的选择要兼顾快速性和稳定性，两者综合考虑。对于简单的被控对象对象(如开环稳定，非最小相位)，一般取即可。对于复杂被控对象，增大直到控制和输出响应变化较小时，此时的是最合适的。经过多次仿真研究表明：最少等与不稳定或阻尼极点的个数。另外，当选取小于时，矩阵的列数将减小。当时，变为一列向量，这将大大较少控制算法的在线计算量。 (3) 控制加权常数是对控制增量的加权，可以限制控制增量幅值过大。同时它也能改善求逆矩阵的条件数，减少数值计算的困难。对一些时稳定不太好的被控对象，稍稍加大就可能明显改善稳定性。但的最合适的数值还是要通过仿真研究才能获得。总的说来，广义预测控制算法中的参数选择可以从两个方面来考虑。对于一般的过程控制，取，为被控对象的上升时间，则可获得较好的控制结果。对于性能要求较高的被控对象，建议选取较大一些的。大量的计算仿真研究表明和是影响广义预测控制性能的两个重要参数，而且两者之间相互影响。当增大时，也相应增加，否则较小的和较大的可能影响闭环系统的稳定性。这两个参数的增加将使被控对象的反应速度变慢；反之小于某一值将导致被控对象的超调和振荡。值得一提的是，合适地选择上述各参数，广义预测控制可转化为其它的控制方法。例如当选取，时，相当于广义最小方差控制方法。当，时，相当于扩展时域预测自适应控制方法EPSAC318。对此感兴趣的读者可详见文献311。2.4广义最小方差前馈控制器在工业过程中，有些被控对象常受到可测干扰的影响。如在钢厂中，为了有效利用转炉炼钢中产生的高温烟气，安装了余热锅炉，利用高温烟气产生饱和蒸汽供民用取暖和作工业热源用。余热锅炉水位调节系统的任务是使给水量适应锅炉蒸发量的变化，保持水位恒定。水位过高影响产生的蒸汽质量，水位过低容易引起锅炉爆炸 因此余热锅炉的水位调节是非常重要的。影响水位的主要因素是给水量和炼钢的启停过程所造成的蒸发量的变化，调节时前者可作为控制输入，后者蒸发量可以检测但不可作为控制输入，可作为可测干扰处理。对于具有可测干扰的被控对象，采用前馈控制可有效抑制可测干扰对输出的影响。但如可测干扰与输出之间的模型参数未知，为了获得满意的控制效果，就必须将前馈控制与自适应控制结合起来。余热锅炉的给水系统由于炼钢过程的频繁启停，其运行条件频繁改变致使被控对象参数发生变化，故需用自适应前馈控制。将前馈控制引入自校正调节器和控制器，在适当参数配合下可实现对可测干扰的补偿，组成有动静态补偿的自校正前馈控制器。本节介绍的广义最小方差自校正前馈控制器的参数可调控制器是广义最小方差前馈控制器，为此首先介绍当被控对象模型已知时的广义最小方