第三章 正弦量.ppt

第三章正弦交流电路的基本概念和基本定律 第一节正弦量第二节交流电的有效值第三节正弦量的相量表示法第四节电阻元件的交流电路第五节电感元件的交流电路第六节电容元件的交流电路第七节相量形式的基尔霍夫定律本章小结 第一节正弦量 在正弦交流电路中 由于电流 电压等物理量均按正弦规律变化 因此常称之为正弦量 其解析式如下 从上式可知 当Im 和 i三个量确定以后 电流i就被唯一确定 因此 这三个量称为正弦量的三要素 一 正弦量的三要素 振幅值正弦量的最大值称为振幅值 用大写字母表示 如Im Um 首页 2 角频率 周期 频率正弦量在单位时间内所经历的电角度 称为角频率 用 表示 单位是弧度 秒 即 正弦量完成一次周期变化所需要的时间 称为周期 用T表示 单位是秒 正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数 称为频率 用f表示 单位是赫兹 周期和频率的关系为 首页 3 初相在正弦量的解析式中 角度 t 称为正弦量的相位 初相是指t 0时的相位 用 表示 相位和初相都与计时起点的选择有关 其单位用弧度表示 规定 规定正弦量由负值向正值变化的一个零值点叫做零点 若选零点为计时起点 则初相 0 如图3 7所示是不同初相时几种正弦电流的解析式和波形图 角频率与周期和频率的关系是 首页 图3 3初相不同的几种正弦电流的波形图a 初相为0 b 初相为 2 c 初相为 6 d 初相为 6 首页 注意 正弦量的初相 相位以及解析式都与参考方向有关 改变参考方向 就是将正弦量的初相加上或减去 例3 1在选定参考方向下 已知正弦量的解析式为i 10sin 314t 240o A 试求正弦量的振幅 频率 周期 角频率和初相 则 解 首页 二 相位差两个同频率正弦量的相位之差 称为相位差 用表示 上式表明 同频率正弦量的相位差等于初相之差 且相位差与计时起点的选择无关 相位差 规定 例如 首页 时 称两个正弦量同相 时 称两个正弦量反相 图3 4初相不同的两个正弦量 如图3 5所示 图3 5同相与反相的正弦波形a 同相的正弦波形 b 反相的正弦波形 如图3 4 u比i先到达零点或峰值点 则称u比i超前角 或i比u滞后角 首页 例3 3两个同频率正弦电流的波形如图3 6所示 试写出它们的解析式 并计算二者之间的相位差 相位差 i1比i2超前90o 也即i2滞后i190o 解解析式 图3 6例3 3波形图 首页 小结 一 正弦量的解析式 三 同频率正弦量的相位差 振幅值 角频率 初相 首页 二 正弦量的三要素 第二节交流电的有效值 一 有效值的定义交流电的有效值是通过电流的热效应来确定的 若交流电流与直流电流分别通过相同的电阻 在相同的时间内产生的热量相等 则直流电流的数值就叫做交流电流的有效值 交流电压与电流的有效值分别用大写字母U I表示 椐此定义可得 有效值 二 正弦量的有效值若交流电为正弦量 则其有效值和最大值符合下列关系 首页 电器设备铭牌上所标的电压 电流值以及交流电表所测的数值都是有效值 例3 4有一电容器 耐压为250V 问能否接在电压为220V的民用电源上 解因为民用电是正弦交流电 电压的最大值 这个电压超过了电容器的耐压 可能击穿电容器 所以不能接在220V的电源上 首页 小结 一 交流电的有效值 二 正弦量的有效值 首页 第三节正弦量的相量表示法 一 复数1 复数的表示电工中常用j代表虚单位 即 1 代数式 2 极坐标式 a 实部 b 虚部 r 模 幅角 由代数式可知 复数可在复平面上用一个点来表示 还可用该点对应的矢量来表示 如图3 8所示 图3 8复数的表示 首页 复数的代数式 三角函数式和极坐标式可以按以下公式相互转换 3 三角函数式 4 特殊复数 首页 例3 5写出复数5 j8的极坐标式 解 例3 6写出复数18 108 6o的极坐标式 2 复数的运算 1 加减运算 例如 例如两个复数 则 解 首页 则 2 乘除运算 例如 例3 7已知复数A 6 68 5o B 11 130o 求A B和A B 解 则 首页 例3 8已知复数 求AB和A B 解 复数的加减运算还可用作图法进行 如图3 9a 在复平面上分别作复数A与B的矢量 由 首页 平行四边形法则作A与B的合矢量 即两复数之和 求两复数之差如图3 9b 把复数B的矢量反向 由平行四边形法则作A与 B 的合矢量 即两复数A与B之差 图3 9复数加减运算矢量图a 复数加运算矢量图 b 复数减运算矢量图 首页 旋转因子 由于 复数对应的矢量逆时针旋转 角 故复数称为旋转因子 乘以 因此复数 后 反映到复平面上 就是将 反映到复平面上 就是将复数 两个复数相等的条件 实部与实部相等 虚部与虚部相等 或模与模相等 幅角与幅角相等 二 正弦量的相量表示法 对一个正弦量 首页 该复数的虚部为一正弦函数 正好是已知正弦量 所以一个正弦量给定后 总可作出一个复数使其虚部等于该正弦量 故可用复数对应表示正弦量 由于正弦电路中电压 电流都是同频率的正弦量 因此计算过程中 角频率可略去 只需考虑最大值和初相两个要素 故以上表示正弦量的复数可简化成 把复数称为相量 以 表示 并习惯把最大值换成有效值 即 该复数对应复平面上的一个旋转矢量 旋转矢量在纵轴上的投影就是该正弦量 演示 首页 注意 相量只表示正弦量 并不等于正弦量 只有同频率正弦量的相量才能相互运算 画在同一复平面上表示相量的图称为相量图 解 相量图如图3 10所示 图3 10例3 9相量图 首页 例3 10写出下列相量对应的正弦量 解 例3 11已知 试用相量计算u1 u2 并画相量图 相量图如图3 11所示 图3 11例3 11相量图 解 f 100Hz f 50Hz 首页 小结 一 复数 2 复数的运算 二 正弦量的相量表示法 1 复数的表示 首页 第四节电阻元件的交流电路 一 电阻元件上电压和电流的相量关系如图3 12 为一个电阻元件的交流电路 在关联参考方向下 根据欧姆定律 电压和电流的关系为 若 得 图3 12纯电阻电路 则 或 两正弦量对应的相量为 首页 两相量的关系为 即 此即电阻元件上电压与电流的相量关系 故在电阻元件的交流电路中有 1 电压与电流是同频率的正弦量 2 电压与电流的有效值关系为U RI 3 关联参考方向下 电压与电流同相位 如图3 13a b 分别是电阻元件上电压与电流的波形图 首页 图3 13电阻元件电压 电流的波形图和相量图a 波形图 b 相量图 二 电阻元件上的功率在关联参考方向下 电阻元件的瞬时功率 首页 从上式可知 瞬时功率恒为正值 表明电阻元件是耗能元件 图3 14电阻元件瞬时功率波形图 正弦交流电路中电阻元件的平均功率为 即 首页 如图3 14是瞬时功率随时间变化的波形图 一般交流电器上所标的功率 都是指平均功率 由于平均功率反映了元件实际消耗的功率 所以又称有功功率 例3 12一电阻R 100 两端电压求 1 通过电阻的电流I和i 2 电阻消耗的功率 3 作相量图 解 1 2 或 首页 3 相量图如图3 15所示 图3 15例3 12相量图 例3 13额定电压为220V 功率分别为100W和40W的电烙铁 其电阻各是多少欧姆 解100W电烙铁的电阻 40W电烙铁的电阻 由上述计算可见 电压一定时 功率越大 电阻越小 功率越小 电阻越大 首页 小结 一 电阻元件电压与电流的相量关系 二 电阻元件的平均功率 首页 第五节电感元件的交流电路一 电压与电流的相量关系如图3 16 是一个纯电感的交流电路 选择电压与电流为关联参考方向 则电压与电流的关系为 图3 16纯电感电路 若 则 得 首页 两正弦量对应的相量分别为 两相量的关系为 故在电感元件的交流电路中有 1 电压与电流是同频率的正弦量 2 电压与电流的有效值关系为U XLI 3 关联参考方向下 电压超前电流 2 故 首页 如图3 17a b 分别为电感元件电压 电流的波形图和相量图 图3 17波形图和相量图a 波形图 b 相量图 把有效值关系U XLI与欧姆定律U RI相比较 可以看出 XL与电阻R同样具有阻碍电流的物理特性 故称为感抗 其单位为 首页 感抗 与电感L 频率 及电感 一定时 通过的电流 及感抗 当电感一定时 频率越高 感抗越大 因此 电感线圈对高频电流的阻碍作用大 对低频电流的阻碍作用小 而对直流电流 相当于短路 感抗和电流随频率变化的关系曲线如图3 18所示 图3 18电感元件感抗 电流随频率变化曲线 二 电感元件的功率电压与电流参考方向一致时 电感元件的瞬时功率为 首页 波形图如图3 19所示 在第一个 周期内电流由零上升到最大值 电感储存的磁场能量也随着电流由零达到最大值 这个过程瞬时功率为正值 表明电感从电源吸取电能 第二个 周期内 电流从最大值减小到零 这个过程瞬时功率为负值 表明电感释放能量 后两个 周期于上述分析一致 上式说明 电感元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数 其频率为电源频率的两倍 振幅为 波形图如图3 19所示 在第一个 周期内 电流从最大值减小到零 这个过程瞬时功率为负值 表明电感释放能量 后两个 周期于上述分析一致 在第一个1 4周期内 瞬时功率为正值 表明电感从电源吸取电能 第二个1 4周期内 瞬时功率为负值 表明电感释放能量 后两个1 4周期与上述分析一致 图3 19电感元件的瞬时功率曲线 首页 电感元件的瞬时功率随时间变化的波形图如图3 19所示 电感元件的平均功率为 这说明电感是储能元件 它在吸收和释放能量的过程中并不消耗能量 为了描述电感与外电路能量交换的规模 把瞬时功率的最大值称为无功功率 即 无功功率的单位为乏尔 Var 注意 无功 不能理解为 无用 无功 二字的实际含义是交换而不消耗 首页 例3 14在电压为220V 频率为50Hz的电源上 接入电感L为0 0255H的线圈 电阻不计 试求 1 线圈的感抗 2 关联方向下线圈的电流 3 线圈的无功功率 4 若线圈接在f 5000Hz的信号源上 感抗为多少 解 1 解 1 2 3 4 首页 小结 一 电感元件电压与电流的相量关系 二 电感元件的有功功率和无功功率 首页 第六节电容元件的交流电路一 电压与电流的相量关系如图3 20 是一个纯电容的交流电路 选择电压与电流为关联参考方向 则电压与电流的关系为 图3 20纯电容电路 若 则 得 首页 两正弦量对应的相量分别为 两相量的关系为 故在电容元件的交流电路中有 1 电压与电流是同频率的正弦量 2 电压与电流的有效值关系为U XCI 3 关联参考方向下 电压滞后电流 2 故 首页 如图3 21a b 分别为电容元件电压 电流的波形图和相量图 图3 21波形图和相量图a 波形图 b 相量图 把有效值关系U XCI与欧姆定律U RI相比较 可以看出 XC与电阻R同样具有阻碍电流的物理特性 故称为容抗 其单位为 首页 感抗 与电感L 频率 及电感 一定时 通过的电流 及感抗 当电容一定时 频率越高 容抗越小 因此 电容对高频电流的阻碍作用小 对低频电流的阻碍作用大 而对直流电流 相当于开路 二 电容元件的功率电压与电流参考方向一致时 电容元件的瞬时功率为 首页 电容元件的瞬时功率随时间变化的波形图如图3 22所示 波形图如图3 19所示 在第一个 周期内电流由零上升到最大值 电感储存的磁场能量也随着电流由零达到最大值 这个过程瞬时功率为正值 表明电感从电源吸取电能 第二个 周期内 电流从最大值减小到零 这个过程瞬时功率为负值 表明电感释放能量 后两个 周期于上述分析一致 上式说明 电感元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数 其频率为电源频率的两倍 振幅为 波形图如图3 19所示 在第一个 周期内 电流从最大值减小到零 这个过程瞬时功率为负值 表明电感释放能量 后两个 周期于上述分析一致 在第一个1 4周期内 瞬时功率为正值 表明电容从电源吸取电能 第二个1 4周期内 瞬时功率为负值 表明电容释放能量 后两个1 4周期与上述分析一致 图3 22电容元件的瞬时功率曲线 首页 电容元件的平均功率为 这说明电容是储能元件 它在吸收和释放能量的过程中并不消耗能量 为了描述电容与外电路能量交换的规模 把瞬时功率的最大值称为无功功率 即 无功功率的单位为乏尔 Var 首页 解 1 解 1 2 首页 电流超前电压 即 V的电源上 试求 1 电容的容抗 2 电流的有效值 3 电流的瞬时值 4 电路的有功功率及无功功率 5 电压与电流的相量图 例3 16有一电容C 300 F 接在 3 4 5 相量图如图3 23所示 图3 23例3 16相量图 首页 小结 一 电容元件电压与电流的相量关系 二 电容元件的有功功率和无功功率 首页 第七节相量形式的基尔霍夫定律 基尔霍夫电流定律 KCL 首页 瞬时值形式 相量形式 瞬时值形式 相量形式 基尔霍夫电压定律 KVL 首页 例3 18如图3 24所示电路 已知电流表A1 A2都是5A 求电路中电流表A的读数 图3 24例3 18电路 解设 故 根据相量形式的KCL得 电流表A的读数为7 07A 首页 例3 19如图3 25所示电路中已知电压表V1 V2的读数均为100V 求电路中电压表V的读数 解设 根据相量形式的KVL 电压表的读数为141 4V 故 图3 25例3 19电路 第八节RLC串联电路的相量分析 根据相量形式的KVL 如图3 26电路是由电阻R 电感L和电容C串联组成 流过各元件的电流都是i 电压 电流为关联参考方向 图3 26RLC串联电路 一 电压与电流的相量关系 设 对应相量为 则 首页 首页 即 电抗 单位为欧姆 复阻抗 单位为欧姆 复阻抗也可以表示成极坐标形式 即 Z 阻抗 反映RLC串联电路对正弦电流的阻碍作用 阻抗的大小只与元件的参数和电源频率有关 阻抗角 其中 由 还可知 首页 感抗 不但是阻抗角 也是关联参考方向下 电路的端电 故 压超前于电流的相位角 二 电路的三种情况 1 感性电路 当XL XC时 UL UC 相量图如图3 27a 所示 电压超前电流 电路呈感性 当XL XC时 UL UC 相量图如图3 27b 所示 电压滞后电流 电路呈容性 2 容性电路 3 阻性电路 当XL XC时 UL UC 相量图如图3 27c 所示 电压与电流同相 电路呈阻性 这种状态也称串联谐振 首页 波形图如图3 19所示 在第一个 周期于上述分析一致 上式说明 电感元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数 其频率为电源频率的两倍 振幅为 周期于上述分析一致 图3 27RLC串联电路的三种情况相量图a 感性电路 b 容性电路 c 阻性电路 首页 由图3 27a b 可看出 与以及总电压构成一直角三角形 称为电压三角形 由电压三角形可知 总电压的有效值与各元件电压的有效值关系 是相量和而不是代数和 这正体现了正弦交流电路的特点 把电压三角形三条边的有效值同除以电流有效值I 就得到一个相似的阻抗三角形 其三条边分别是电阻R 电抗X和阻抗 Z 如图3 28a b 所示 图3 28阻抗三角形 首页 首页 RL串联电路和RC串联电路均视可为RLC串联电路的特例 当XC 0时 即RL串联电路 当XL 0时 由此推广 R L C单一元件也可看成RLC串联电路的特例 即RC串联电路 在RLC串联电路中 等效复阻抗 例3 21在电子技术中 常