一道数表(阵)题所引发的思考.doc

一道数表(阵)题所引发的思考 江苏省梁丰高级中学刘显伟123456789101112131415引例下题选自2008年高考江苏卷:将全体正整数排成一个三角形数阵:根据以上排列规律,数阵中第n行的从左向右的第3个数是 .本题是一类将某些数按一定的条件和规律排成一个数阵的题,这类问题以其题型新颖,信息性强,且往往与数列整合在一起,可以较好地考查学生的阅读理解、获取信息、处理数据、归纳推理等能力等特点频频出现在高考和各地调研试题中.以下本文就谈谈如何求解这类数表(阵)问题. 1.根据数表(阵),应用归纳、猜想、证明方法求解.认真细致地观察数表(阵)的排列规律,观察其项数变化呈现的结构特征,并抓住这一特征归纳出一般关系下的表现形式,有时对一般式还得给出严格的证明.观察引例数的排列规律可知:第1行有1个数;第2行有2个数;第3行有3个数;,可归纳得第n行应有n个数,于是该数阵的前行共有个数.若将第1行的数排在首位,第2行的两数排在其后,第3行的3数排在再其后,即排成的形式,可以得到一个以1为首项,1为公差的等差数列,于是第行的最后一个数,即第个数为.从而可知第n行从左向右的第3个数为,即.请再看一例:35 69 10 12 例1设是集合中的所有的数从小到大排列成的数列,即,将数列各项按上小下大、左小右大的原则写成如下三角形数列:(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行各数; (2)求.解析由题知数阵中的每个数均能写成()的形式.尝试将每行的每个数写成这种形式后去寻找规律.(1)第一行的数:;第二行的数:,;第三行的数:, ,由此可猜想第行的数为:,;由此规律,第四行,即时的各数为:;第五行,即时的各数为:.(2)由题知前行数的总个数为:.下面来探究,即第100个数到底在哪行.由估算可知,当时,;当时,所以应是第14行的第9个数,所以.解后反思有关数表(阵)题的完成均是建立在观察、归纳基础之上的.此时,为寻找规律可在同行、同列,甚至相邻两行、两列数之间进行观察、归纳、猜想.2.根据数表(阵),综合运用等差、等比数列知识求解.数表(阵)中的行与列上的数字,若题目条件明确给出,或通过分析、归纳可得,行(或列)中的数成等差(或等比)数列,可尝试利用等差、等比数列的有关知识求解.例2 将n2个数排成n行n列的一个数阵:已知.该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,其中m为正实数,试求第i行第j列的数.解析解本题首先要理解的含义,它表示第i行第j列所对应的数.由题知该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,于是有;又每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,因此,对第一行而言,应有;又,于是有,又,所以有2m225m1.解得m3或(舍去).于是.解后反思解这类数表(阵)题时,理解的含义至关重要.此时,要注意若考查数表(阵)的行的规律时,表示行的相对固定;若考查数表(阵)的列的规律时,表示列的相对固定.如本题的“每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列”,则它的第行,根据等比数列的通项公式有.3.根据数表(阵),寻求递推关系求解.观察数表(阵),重点研究第项与第项的内在联系,通过寻求递推关系来求解,这也是解决这类问题的一类常用方法.再次思考引例,还有别的方法求解吗?要求数阵中第n行的从左向右的第3个数,若知道第n行的第一个数,只需再加2即可求得结果.下面考查数阵每行的第1个数之间的内在联系.由数阵可知,第一行的第1个数为1,第二行的第1个数为2,第三行的第1个数为4,第四行的第1个数为7,第五行的第1个数为11,由此,尝试去寻找递推关系得出第行的第1个数.于是问题转换为:已知,试归纳的值.注意到,由此可归纳得,将以上各式左、右两边相加,可得,即.经检验,当时也符合题意,于是,即第n行的第一个数为,所以从左向右的第3个数为,即.请再看一例:例3一个三角形数表按如下方式构成:第一行依次写上个数,在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和,得到下一行,依此类推.记数表中第行的第个数为.(1)若数表中第行的数依次成等差数列,求证:第行的数也依次成等差数列;(2)已知,求关于的表达式.分析(1)要证第行的数也依次成等差数列,只需证明这行中的数从第二项开始,每一项与前一项的差均为同一常数即可.若设数表中第行数依次所组成数列的通项为,则只需证是常数.(2)尝试寻找与之间的递推关系求解.解 (1)若设数表中第行数依次所组成数列的通项为,由题意可得,又数表中第行的数依次成等差数列,设其公差为d,则,于是是与j无关的常数,所以第i+1行的数也依次组成等差数列,且其公差为2d.(2)由题,且第 1行的数依次成等差数列,知其公差.由(1)可得第二行的数也依次成等差数列,依次类推,可知数表中任一行的数(不少于3个)也依次成等差数列.设第i行的公差为,则,所以,所以.(或另解为:由可得,所以,所以).解后反思本题的综合性较强,牢牢抓住递推关系“下一行的每一个数等于上一行与其相邻的两数的和”是解本题的关键,而如何将用文字语言表述的递推关系转化为用符号语言来表示的表达式又是解本题的难点和易错点.巩固练习:1.设定义如下面数表,数列满足,且对任意自然数均有,则.12345413522.下表给出一个“等差数阵”:47( )( )( )a1j712( )( )( )a2j( )( )( )( )( )a3j( )( )( )( )( )a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列,表示位于第行第三者列的数.(1)写出的值; (2)写出的计算公式.3.如图是一个类似“杨辉三角”的图形,第行共有个数,且该行的第一个数和最后一个数都是,中间任意一个数都等于第行与之相邻的两个数的和,分别表示第行的第一个数,第二个数,第个数,试求的通项公式. a11 a12 a13 a14 a1n a21 a22 a23 a24 a2n a31 a32 a33 a34 a3n an1 an2 an3 an4 an n4.个正数排成几行几列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知,求a11 +a22 +a33 + ann的值. 参考答案:1.2.提示:由定义知,所以是周期为4的周期数列,所以.2. (1)该等差数阵的第一列是首项为4,公差为3的等差数列,第二列是首项为7,公差为5的等差数列,.于是可得第四行为首项为13,公差为9的等差数列.所以.(2)因为,所以第列是首项为,公差为的等差数列.所以.3.提示:要求,即要求第行的第二个数的通项公式,可尝试将第二行、第三行、第四行、第五行,的第二个数分别写出,然后寻求