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文档简介

一道竞赛题命制的思维历程宋良良（江苏省南通市石港初中）ADBCO中学数学参考（下半月）在2006年6期和2007年5期刊出的“中学生数学智能通讯赛”中，各有一道命题条件相同而结论不同的几何竞赛题。1.如图1，在梯形ABCD中，AD/BC,BD=BC,AB=AC,BACA,垂足为A。求证：ABCD=ADBC。2.如图1，在梯形ABCD中，AD/BC,BD=BC,AB=AC,BACA,图1垂足为A，AC与BD相交于点O，则的值为 。以上两道赛题的解决都必须分两个步骤进行。ADBCOEF第一步：如图2，过点A、D分别作AEBC，DFBC，垂足分别为E、F。由BACA，AB=AC，可知ABC=ACB=45，AE=BC=BE=EC，由AD/BC，AE/DF，BD=BC，可得DF=AE=BC=BD，进而可知，DBC=30 ，BCD=BDC=，图2,.第二步：每一道赛题都有多种不同的方法。第1题的解答解法1：如图2，得。由OC=CD，AB=AC，即得。解法2：如图2，设，则BD=BC=2，AB=AC，即得AB=AC=BCCOS45O =，AD=EF=BF-BE=，FC=BC-BF=2-，。于是可得ABCD=ADBC。ADBCOM解法3：如图3，过点D作DM/AC，交BC的延长线于M。由DCMBOC，得，由CM=AD，OC=CD，DM=AC=AB，即得ABCD=ADBC。解法4：如图3，由DCMBDM，得。由BD=BC，CM=AD，图3DM=AC=AB，即得ABCD=ADBC。在图3中，也可以利用BDMCDA或过点A作OB的平行线，构造CDA的相似三角形，从而得到结论。第2题的解答解法1：如图1，由，得。由AC=AB，OC=CD得，进而可得，ADBC2 =AB2BO。于是得。解法2：如图2，解答过程同第1题解法2，于是可得。解法3：利用图形和求值式的特征进行求解。因为。易知，所以，又因为AD=,BO=2()，于是可得，所以。通过对以上两道竞赛题解法的探究发现还有其他一些几何性质。ADBCOH由AODADC，得，即AD2 =AOAC；由DOCDCB，得，即CD2=OC2=ODBD，由得。由可知，若过点O作OHBC，垂足为H，则有，于是可得AD=OH。根据这一重要发现，笔者命制了一道几何竞赛题：如图4，在梯形ABCD中，AD/BC，BD=BC，AB=AC，BACA，垂足为
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