2012年高考理科数学解析 word 版.docx

2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I卷和第卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。如果事件A , B互斥，那么 PA+B=PA+P(B)；如果事件 A , B 独立，那么PAB=PAP(B)。第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数 z 满足z2-i=11+7i (i为虚数单位)，则 z 为 ( )A.35i B.35i C. 35i D. 35i 解析：A设z=x+yi, 则 x+yi2-i=11+7i, 即2x+y+2y-xi=11+7i2x+y=11-x+2y=7 x=3y=5 z=3+5i2已知全集 U=0, 1, 2, 3, 4 ，集合 A=1, 2, 3, B=2, 4 ，则 UAB 为 ( )A. 1, 2, 4 B. 2, 3, 4 C. 0, 2, 4 D. 0, 2, 3, 4解析：C3设 a0, a1，则“函数 fx=ax 在R上是减函数 ”，是“函数 gx=2-ax3在 R 上是增函数”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：A“函数 fx=ax 在R上是减函数 ”“0a1”“函数 gx=2-ax3在 R 上是增函数”“a2” “0a1” “a2”, “0a1”“a2”4采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号 为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 ( )A. 7 B. 9 C. 10 D. 15解析：C451,750中是分组后的第16 25组，故其中抽取的人数为 25-16+1=105约束条件x+2y22x+y44x-y-1，则目标函数 z=3x-y 的取值范围是 ( )A.-32,6 B. -32,-1 C. -1,6 D.-6,32解析：A6执行右面的程序图，如果输入 a=4，那么输出的 n 的值为 ( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解析：BP=0+40=1Q=21+1=3n=1 P=1+41=5Q=23+1=7n=2 P=5+42=21Q=27+1=15n=37若 4, 2 ，sin2=378 ，则sin的值是 ( )A. 35 B. 45 C. 74 D. 34解析：D 4, 2, 22sin1 ，排除A. C. 易验证D. 正确8定义在 R 上的函数 f(x) 满足 fx+6=f(x)，当-3x-1时， fx=-x+22，当-1x0时，x0, y+10已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为 32. 双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆 C 的方程为 ( )A. x28+y22=1 B. x212+y26=1 C. x215+y24=1 D. x220+y25=1解析：D椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为 32，a:b:c=2:1:3 C:x24b2+y2b2=1双曲线x2-y2=1的渐近线为 y=x, 设渐近线与椭圆在第一象限的交点坐标为x1,y1根据图形的对称性知已知四边形的面积为2x12=16x124b2+y12b2=x124b2+x12b2=1 54x12=b2 b2=5, a2=20 C: x220+y25=111现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ( )A. 232 B. 252 C. 472 D. 484解析：C法一：C163-4C43-C42C41C31=472法二：C41C41C41C43+C41C31C42+C31C41C21C42=47212设函数 fx=1x，gx=ax2+bx(a, bR, a0)若 y=fx 的图象与 y=gx 图象有且仅有两个不同的公共点 Ax1, y1, Bx2, y2 ,则下列判断正确的是 ( )A. 当 a0 时，x1+x20 B. 当 a0, y1+y20 时，x1+x20, y1+y20 时，x1+x20, y1+y20解析：B法1：1x=ax2+bx1=ax3+bx2，考虑函数f(x)=ax3+bx2法2：1x=ax2+bx1x2=ax+b第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 若不等式 kx-42 的解集为 x1x3，则实数 k 的值是_. 解析：2分k0, k0)，函数 fx=mn 最大值为 6 . (I) 求 A ； (6)() 将函数 y=fx的图象像左平移 12 个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来 12 的倍，纵坐标不变，得到函数 y=gx 的图象。求 gx 在 0, 524 上的值域. -3,6解析：(I)由题意得，fx=3Asinxcosx+A2cos2x=Asin2xcos6+cos2xsin6=Asin2x+6由于函数 fx最大值为 6 知A=6(II) 函数 y=fx的图象像左平移 12 个单位后，y=6sin2x+12+6=6sin2x+3再将所得图象各点的横坐标缩短为原来 12 的倍，纵坐标不变后，y=6sin22x+3gx=6sin4x+3 x0, 524 34x+376 -12sin4x+31gx-3,6xyZ18. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABCD，DAB=60，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF. (I) 求证：BD平面AED；() 求二面角 F-BD-C 的余弦值。55解析：(I)在等腰梯形ABCD中，ABCD，DAB=60，CB=CD，ABD=BDC=CBD=30ADB=90BD=3CD, ADBD 又AEBD, AEAD=ABD平面AED()由FC平面ABCD,以C为坐标原点，分别以CD、CF所在直线为 x 轴, z 轴建立如图示的空间直角坐标系. 设CB=CD=CF=1，则C(0, 0, 0), D(1,0,0), B(-12, 32, 0), F0, 0, 1，BD=32, -32, 0 FD=1, 0, -1平面BDC 的一个法向量为 n1=0, 0, 1 设平面BDF 的一个法向量为 n2=(x, y, z)则n2BD=0 n2FD=0 32x-32y=0 x -z=0令x=1，则平面BDF 的一个法向量为 n2=(1, 3, 1)cos n1, n2=n1n2n1 n2=11+3+11=55故二面角 F-BD-C 的余弦值为55. 19. （本小题满分12分）先在甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23 ,每命中一次得 2 分，没有命中得 0 分。该射手每次射击的结果相互独立. 假设该射手完成以上三次射击. (I) 求该射手恰好命中一次得的概率；736() 求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX . 4112解析：(I)P=341313+14C212313=736() X 的所有可能值为0, 1, 2, 3, 4, 5PX=0=141313=136 PX=1=341313=112 PX=2=14C212313=19PX=3=34C212313=13 PX=4=142323=19 PX=5=342323=13X012345P136112191319EX=0136+1112+219+313+419+513=411220. （本小题满分12分）在等差数列 an中，a3+a4+a5=84, a9=73 . (I) 求数列 an的通项公式；() 对任意 mN*，将数列 an 中落入区间 9m, 92m 内的项的个数记为 bm，求数列 bn 的前 m 项和Sm. 解析：(I) a3+a4+a5=84，a4=28 又a9=73d=a9-a49-4=9 an=a4+n-4d=9n-8, nN+() 对任意 mN*，将数列 an 中落入区间 9m, 92m中，即有9m9n-892m, 9m+89ng0=0 gt在54, 5上为增函数. 当t=54 时，AB2+DE2的最小值为14，此时k=12 . 22. (本小题满分13分)已知函数 fx=lnx+kexk为常数，e=2.71828是自然对数的底数 ，曲线 y= fx 在点 1, f(1) 处的切线与 x 轴平行。(I) 求 k 的值；(II) 求 fx 的单调区间；