2.1.2初等函数.doc

第二章 复变函数:第二节：初等函数4、指数函数：我们要把实指数函数的定义扩充到整个复平面上，使得复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：（1）；（2）f(z)在整个复平面C上解析；（3），有；则可以证明，事实上，由(3)及(1)有令 其中A(y)及B(y)是实值函数，所以显然，满足上面的条件。若则有因此，定义复指数函数，为由此有Euler公式：；指数函数的基本性质：（4），；（5）指数函数在整个复平面内有定义并且解析， ，指数函数是实指数函数在复平面上的解析推广；（6）Euler公式：；（7） 从定义得利用Euler公式，得到复数的指数表示式：若复数z的模为r，幅角为，则有；（8） 、指数函数是周期为得周期函数；（9） * 指数函数的几何映射性质：由于指数函数有周期，所以研究当z在带形中变化时，函数的映射性质。设w的实部及虚部分别为u及v。设z从左到右描出一条直线L：，那么，于是|w|从0(不包括0)增大到，而保持不变，因此w描出一条射线，L和上的点之间构成一个双射；让从0（不包括0）递增到，那么直线L扫过，而相应的射线按反时针方向从w平面上的正实轴（不包括它）变到正实轴（不包括它）。因此，确定从带形B到成w平面除去原点及正实轴的一个双射。显然，函数把直线在B上的一段映射成w平面上的一个圆除去u轴上的一点。同理可以证明，函数把任何带形双射为w平面除去原点及射线argw=a；特别地，它确定从带形到w平面除去原点及正实轴的一个双射。yxuv5、多值函数导引：辐角函数因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：w=Argz （）它本身不是一般意义下的初等函数。当时，w=Argz函数有无穷个不同的值：其中argz表示Argz的主值：我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz。为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。考虑复平面除去负实轴（包括0）而的的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz（）是一个单值连续函数，也是一个单值连续函数。因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。上述区域D可以看成是把复平面沿负实轴割开而得到，负实轴称为一条割线，它是区域的D边界；我们可以把这条割线看作有不同的上、下沿。函数w=Argz的每个单值连续分支可以扩充成为直到负实轴（除去0）的上、下沿连续的函数，扩充的函数值称为上述单值连续分支在负实轴上、下沿所取的值。显然，同一单值连续分支在负实轴上沿及下沿所取的值不同，例如w=Argz的主值分支w=argz在负实轴上沿及下沿分别取值及。6、对数函数：定义复对数函数是指数函数的反函数：已给复数z，满足方程函数称为对数函数，记为。令u及v为w的实部及虚部，那么,从而.注解1、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函数是周期为 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数(无穷多值)；注解2、相应Argz的主值，我们把，定义为argz的，记为lnz，所以有：；注解3、任何不是零的复数有无穷多个对数，其中任意两个相差的整数倍。对数函数的基本性质： 1、 对数函数的定义域为整个复平面去掉原点，是一个多值解析函数；2、 对数函数的代数性质：3、 对数函数的单值化：对数函数的多值性是由于Argz的多值性引起的，而ln|z|在C0中任一点充分小的邻域内连续，可见对数函数在某些区域内也可以分解成一些单值连续函数，其中每一个称为对数函数在这区域内的一个单值连续分支。在复平面上取负实轴作割线，得到区域D。w=Lnz在区域D内可以分解成(6.2)中所表示出的无穷多个单值连续函数，它们都是w=Lnz在区域D内的单值连续分支。区域D的边界可以看作有不同的上、下沿。函数w=Lnz的每个单值连续分支可以扩充成为直到负实轴（除去0）的上、下沿连续的函数，扩充的函数值称为上述单值连续分支在负实轴上、下沿所取的值。显然，同一单值连续分支在负实轴上沿及下沿所取的值不同，例如w=lnz在负实轴上沿及下沿分别取值及。一般地，在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线作为割线，得到一个区域的，并且。取及，与Argz在内的分解相对应，可把对数函数在分解成无穷多个单值连续函数分支，记作：这样，在区域内，有4、 对数函数在任何区域内的单值连续分支都是解析的：如果f(z)是Lnz在区域G内的一个单值连续分支，那么在G内f(z)解析，且有：事实上，设，由于，对于模充分小的复数，我们有令，显然，并且h当趋近于0时，当趋近于f(z)，于是，有f(z)称为Lnz在G内的一个解析分支。多值函数w=Lnz在上述区域D及内可以分解成无穷多个解析分支。它是一个多值解析函数，我们所说的解析函数总是指单值解析函数，或多值解析函数的一个解析分支。5、对数支点： 0和无穷远点对于对数函数w=Lnz有特殊的意义。在0或无穷远点的充分“小”的邻域内，任作一条简单连续闭曲线C围绕0或无穷远点。根据Argz连续变化的情况，当一点z从C上一点出发，沿C连续变化一周，Lnz从它在的任一值连续变动到其它值，。因此我们把0及无穷远点称为对数函数的支点。这两个支点具有下列性质：当z从出发，沿C按一定方向连续变动无论多少周时，w=Lnz总不可能从它在的任一值连续变化到同一值，因此我们把0及无穷远点称为对数