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数值数据的表示和运算 整理人：星辰樱1.机器数和真值的概念 机器数：数的符号也用二进制数“0”或“1”来表示，且符号位总是该数的最高数值位之前的那种数称为机器数。规定“0”表示正号，“1”表示负号。原码、补码、反码、移码等把符号位和数值位一起编码来表示的数就是机器数。 真值：用“+”、“”表示符号的那种数叫做真值。如N1+0.1011，N20.1011，这是真值。表示成机器数就为N10.1011，N21.1011。2.机器数的特点（1）用二进制数表示。用二进制数表示的优点： 使用元器件简单，便于硬件实现。 运算简单。 节省存储设备。 便于用逻辑代数进行逻辑设计。（2） 机器数所表示的数值范围是有限的，无法表示时，便会产生溢出。（3） 符号的数值化表示。（4） 定点数和浮点的不同表示。 定点数表示方式。小数点的位置是固定不变的数称为定点数。 浮点数表示方式。浮点数是一种指数形式的表示方式。一般表示为： X2rx 其中r称为X的阶码，它指明小数点的位置，表示数的大小 ；x称为X的尾数，表示了X的有效值。采用浮点数表示的计算机称为浮点计算机。3. 二进制数的运算规则1.加法规则 0+00 0+11 1+01 1+110 （逢2进1）2. 减法规则 000 1011 （借1当2）3. 乘法规则 000 010 100 111 （与平常我们的十进制运算相同）4. 除法规则 010 111 （与平常我们的十进制运算相同）5. 逻辑或（）运算规则 000 011 101 111 例题：求两个二进制数11011011和10111101的或运算结果。 11011011 ） 10111101 11111111 6. 逻辑与（）运算规则 000 010 101 1117. 逻辑非（）运算规则 1 08. 逻辑异或（）运算规则 000 011 101 110 4. 定点数的原码、反码、补码和移码 1. 定点数的原码 符号位为0表示正数，为1表示负数，数值部分用二进制数的绝对值表示的方法称为原码表示方法。通常用X原表示X的原码。 例题：表示 +59和59的原码。假设机器数的位数是8位，最高位是符号位，其余7位是数值位。解：+59和59的原码表示为 +59原00111011 59原10111011 注意0的原码有两个值，有正零和负零之分。机器遇到这两种情况都当做0处理。考虑到0的情况，定点整数的原码的定义式为： X 2n-1X0X原 2n-1X 2n-1X0X补 2n+X 2n-1XX0X反 2n1+X 2n-1X0公式：XYX+Y补X+（Y反+1）4. 移码 移码也叫增码或偏码，常用于表示浮点数中的阶码。 对于字长为n的计算机，若最高位为符号位，数值为n-1位，当偏移量取2n-1时，其真值X所对应的移码的表示公式为： X移2n-1+X （2n-1XX0X补 2n+X 2n-1X0有这样的关系： 当0X2n-1时，X移2n-1+X2n-1+X补 当2n-1X0时，X移2n-1+X(2n+X)2n-1=X补2n-1可得：把X补的符号位取反，就得到X移。例题：X+1011，Y1011，求X移和Y移。解：X补01011， 所以X移11011 Y补10101， 所以Y移001015. 定点数和浮点数 所谓定点数和浮点数，是指在计算机中一个数的小数点位置是固定的，还是浮动的，如果一个数中小数点的位置是固定的，则叫定点数，否则为浮点数。采用定点数表示法的计算机叫定点计算机，采用浮点数表示法的计算机叫浮点计算机。 1.定点数表示法 定点数表示法通常把小数点固定在数值部分的最高位之前，纯小数，或把小数点固定在数值部分的最后面，纯整数。对于一台机器，一旦确定了一种小数点的位置，在计算机系统中就不再改变。 2.浮点数表示法 浮点数表示法是指在数的表示中，其小数点位置是浮动的。任一个二进制数N可以表示成： N2EM 其中：M为数N的尾数或数码，E为指数，是数N阶码，是一个二进制整数。两种常见的表示格式： 格式一： MSEM 符号位 阶码 尾数 1位 m位 n位 格式二：NsEMsM 阶符 阶码 数符 尾数 1位 m位 1位 n位 要注意的问题： 阶码的位数和尾数的位数的关系。在字长确定的情况下，阶码的位数增加，数的表示范围就增加，但尾数的位数相应减少，使数的有效位减少，数表示的精度就降低。 浮点数通常采用规格化的表示方法。所谓浮点数的规格化就是其尾数的第一位要为1，若不为1，就要用“左规”的方法使其为1。左规就是尾数向左移动（同时调整阶码），直至尾数的第一位1或阶码为全0或最小值。 如：2100.1101，2100.1101 就是规格化的浮点数；而2110.0110，2110.0110是非规格化的浮点数。 当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值；或者阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成是0，称为机器零。例题1：把非规格化的浮点数N2110.0110规格化。解：把浮点数N的尾数向左移一位（或尾数的小数点右移一位），变成0.1100，同时，阶码递减1，得到N2100.1100，就是规格化的浮点数。例题2：把一个真值为+23.25的十进制数，用浮点数格式1表示其原码，设浮点数字长为16位，其中阶码5位，尾数10位，符号位1位。解：令X23.25 转换成二进制数 X10111.01 用浮点数规格化表示其原码为：X原2+001010.1011101000 解析各数字：按浮点数的表示方法来。N2EM E001015125 因为要求5位所以前面补0。 后面的1011101000可以由23.25/25得来，后面的3个零也是补的。例题3：把一个真值为+23.25的十进制数，用浮点数格式2表示其原码，设浮