点线面之间的关系教案.doc

第10讲 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.知识要点：1. 空间两条直线的位置关系：2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.例题精讲：【例1】已知异面直线a和b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30的直线有且仅有（ ）. A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条解：过P作a，b，若Pa，则取a为，若Pb，则取b为这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50和130. 记，所确定的平面为，那么在平面内，不存在与，都成30的直线 过点P与，都成30角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是，所成对顶角的平分线其中射影是50对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130对顶角平分线的直线不存在故答案选B.【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1） 正方体中，. 又 中，E、F为中点， . , 即D、B、F、E四点共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a/b，由公理2的推论，存在平面，使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则, 在平面内过点C作，因为b/c，则，此与矛盾. 故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45， AB1 和CC1所成的角是45.（2）如图，连结DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直线AB1和EF所成的角. A1DC1是等边三角形， A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是60.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.第11讲 2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.知识要点：1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；.2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；.例题精讲：【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小. 解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=，由MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90.异面直线AB、CD成90角.【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解：四边形EFGH是平行四边形， =2=.ABCDEFGH【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 证明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分别是AB和CD的中点， EHBD.又 ， FGBD. EHFG. 所以，E、F、G、H四点共面.（2）由（1）可知，EHFG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P. AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点， 由公理3知PAC. 所以，三条直线EF、GH、AC交于一点.点评：一般地，证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例4】如下图，设ABC和A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且= .试求的值. 解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1.由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1，ABCA1B1C1，所以=（）2=.点评：利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.第12讲 2.2.1 直线与平面平行的判定学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行线面平行”.知识要点：1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：. 图形如右图所示.例题精讲：【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF平面PEC证明：设PC的中点为G，连接EG、FG. F为PD中点， GFCD且GF=CD. ABCD， AB=CD， E为AB中点， GFAE， GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形. EGAF， 又 AF平面PEC， EG平面PEC， AF平面PEC.【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF平面BB1D1D. 证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OEDC， OE=DC. DCD1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点， OED1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四边形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， ABC D E F GM O EF平面BB1D1D.【例3】如图，已知、分别是四面体 的棱、的中点，求证：平 面. 证明：如右图，连结，交于点，连结，在中，、分别是、中点， ，为中点， 为中点，在中，、为、中点， ，又平面，平面， 平面.点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN/平面PAD；（2）若，求异面直线PA与MN所成的角的大小.解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点， NH. 由M是AB的中点， NHAM， 即AMNH为平行四边形. . 由， .（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON， OMBC，ONPA， 所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MONO.由，, 得OM=2，ON=所以，即异面直线PA与MN成30的角点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.第13讲 2.2.2 平面与平面平行的判定学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号表示为：.例题精讲：【例1】如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP平面A1BD.证明：连结B1D1，P、N分别是D1C1、B1C1的中点， PNB1D1.又B1D1BD，PNBD. A1AB1BC1CD1DGEF又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例2】正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD 证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFNMPDCQBADF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD 【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ平面PBC. 证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD为平行四边形，BC/AD， MQ/BC，而BC平面PBC，MQ 平面PBC, MQ/平面PBC. 由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.【例4】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点. （1）求证：平面AMN平面EFDB；（2）求平面AMN与平面EFDB的距离. 证：（1）连接,分别交MN、EF于P、Q. 连接AC交BD于O，连接AP、OQ.由已知可得， .由已知可得，且. , . 平面AMN平面EFDB.解：（2）过作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、H，易得.由, 根据, 则 ，解得. 所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.点评：第（1）问证面面平行，转化途径为“线线平行线面平行面面平行”. 第（2）问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B到平面ABC的距离.第14讲 2.2.3 直线与平面平行的性质学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：.例题精讲：【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1EB1B证明： ， .又 ， .则.【例2】如图，求证：.ABCD证明：连结，直线和可以确定一个平面，记为， 又， 四边形为平行四边形， .【例3】如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD/平面EFGH.证明： ,平面，平面， .又 ，, .又 , .点评：转化思维链是“由已知线线平行线面平行线线平行线面平行”. 此题属于教材（必修人教A版）中第64页的3题的演变, 同样还可证平面.【例4】已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证dgba_b_a证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和， 平面，平面， ，又 平面，平面， 平面，又 平面，平面平面=， ， 点评：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到ab的目的，这里借用已知条件中的a及a来实现证线线平行，可由公理4进行平行传递，也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的性质得到线线平行. 这里采用作辅助平面，利用线面平行的性质得到线线平行.第15讲 2.2.4 平面与平面平行的性质学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.知识要点：1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：.2. 其它性质：； ；夹在平行平面间的平行线段相等.例题精讲：【例1】如图，设平面平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D. 求证：MN. 证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，则MEAC， ME平面，又 NEBD， NE， 又MENE=E，平面MEN平面， MN平面MEN，MN. 【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形 证明： A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，A，B，C，D四点共面又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线ABCD同理ADBC 四边形ABCD是平行四边形【例3】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且，求证：平面EFG平面ABC.证明：作于P，连接PF. 在正三棱柱ABCA1B1C1的侧面中，易知，又，所以. ，平面ABC.又 ， ， ，则平面ABC. ， 平面PEF/平面ABC. 平面PEF， EF/平面ABC. 同理，GF/平面ABC. ， 平面EFG/平面ABC.点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等. 此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想.【例4】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E、F，且. 求证：EF平面ABCD.证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN. BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC， EMBB1，FNBB1， EMFN， AB1=BC1，B1E=C1F，AE=BF， 又B1AB=C1BC=45， RtAMERtBNF，EM=FN. 四边形MNFE是平行四边形，EFMN. 又MN平面ABCD，EF平面ABCD. 证法二：过E作EGAB交BB1于G，连接GF， ， FGB1C1BC. 又EG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD. b又EF平面EFG，EF平面ABCD. 点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行线面平行面面平行”之间的互相转化而完成证明. 第16讲 2.3.1 直线与平面垂直的判定学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.知识要点：1. 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. 平面的垂线，直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若，B，则3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）证（证所作为所求）求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.例题精讲：【例1】四面体中，分别为的中点，且，求证：平面. 证明：取的中点，连结，分别为的中点，.又，在中，又，即，平面.【例2】已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO.由已知正方体，易知平面，所以为所求.在中，.所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.【例3】三棱锥中，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的垂心.证明：连接OA、OB、OC， 平面ABC， .又 ， ，得, O为底面ABC的垂心.点评：此例可以变式为“已知，求证”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.【例4】已知，斜边BC/平面， AB，AC分别与平面成30和45的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.解：作于，于，则由，得，且就是BC到平面的距离，设，连结，则，在中，即BC到平面的距离为点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.第17讲 2.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小.知识要点：1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 范围：.3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）例题精讲：【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF.证明：（1）如右图，APE=APF=90，PEPF=P， PA平面PEF. EF平面PEF，PAEF.（2）APE=EPF=90，APPF=P，PE平面APF.又PE平面PAE，平面APE平面APF.【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面. 证明：为AC中点，所以. 同理可证 面BGD. 又易知EF/AC，则面BGD. 又因为面BEF，所以平面平面.【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：证明：连接AC，交BD于F，连接，EF，.由正方体，易得，F是BD的中点， 所以，得到是二面角的平面角.设正方体的棱长为2，则，. ，即，所以.点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键. 【例4】正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.解：（1）延长ED交CB延长线于F， ，.， 为截面与底面所成二面角的平面角. 在RtAEC中，EC=AC，故得EAC=45.（2）设AB=a，则，. .点评：截面问题的研究，需注意结合截面的性质. 如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成一个平面图形. 求二面角时，抓住二面角的平面角定义（两线垂棱），找出其平面角，解直角三角形. 第18讲 2.3.3 线面、面面垂直的性质学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质，掌握两个性质定理及定理的应用.知识要点：1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行）2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，则.（面面垂直线面垂直）例题精讲：ACBa【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？解：注：若BC与a垂直，同理可得AB与a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “线线垂直线面垂直线线垂直”.【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC. （1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 解：（1）证明：C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PAC. BC 平面PBC， 平面PAC平面PBC.（2）平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD.【例3】三棱锥中，,平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的外心.证明：连接OA、OB、OC， 平面ABC， .在PAO、PBO、PCO中，, PO边公共. . ,所以，O为底面ABC的外心.点评：若已知三条侧棱与底面所成角相等时，即，按同样的方法“证全等”可以证出. 上述结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.【例4】三棱锥中，三个侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的内心.【证】作于D，于E，于F，连接OD、OE、OF. 平面ABC， ， .又 , .得 , 为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. 即得， PO边公共， ，得