北师大版必修二 2.3.2 圆与圆的位置关系 课件（29张）.pptx

第2课时圆与圆的位置关系 1 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种 分别为相离 外切 相交 内切 内含 2 圆与圆的位置关系的判断 1 代数法 设两圆方程分别为 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下 2 几何法 若两圆的半径分别为r1 r2 两圆的圆心距为d 则两圆的位置关系的判断方法如下 做一做1 圆 x 2 2 y2 4与圆 x 2 2 y 1 2 9的位置关系为 a 内切b 相交c 外切d 相离解析 两圆圆心分别为o1 2 0 o2 2 1 半径分别为r1 2 r2 3 答案 b 做一做2 若圆x2 y2 9与圆 x 4 2 y 3 2 r有3条公切线 则实数r的值为 a 8b 64c 2d 4解析 两圆有3条公切线 即两圆外切 答案 d 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 若两圆只有一个公共点 则这两圆外切 2 若两圆无公共点 则两圆相离 3 两个半径不相等的同心圆从两圆位置关系上来说为内含 4 过圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0与圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0交点的圆系方程为x2 y2 d1x e1y f1 x2 y2 d2x e2y f2 0 1 且 r 此圆系方程涵盖了过圆c1与圆c2的交点的所有圆的方程 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究一判断两圆的位置关系 例1 已知圆c1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0与圆c2 x2 y2 2x 0 1 当m 1时 圆c1与圆c2是什么关系 2 若两圆有三条公切线 求实数m的值 3 是否存在m使得圆c1与圆c2内含 分析 1 参数m的值已知 求解时可先找出圆心及半径 然后比较两圆的圆心距d与r1 r2 r1 r2 的大小关系 2 两圆有三条公切线即两圆相外切 由此建立关于m的等式求解 3 假设存在m使得圆c1与圆c2内含 则圆心距d r1 r2 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解 1 m 1 两圆的方程分别可化为c1 x 1 2 y 2 2 9 c2 x 1 2 y2 1 又r1 r2 3 1 4 r1 r2 3 1 2 r1 r2 d r1 r2 圆c1与圆c2相交 2 圆c1的方程为 x m 2 y 2 2 9 圆心c1 m 2 半径r1 3 圆c2的方程为 x 1 2 y2 1 圆心c2 1 0 半径r2 1 当两圆有三条公切线时 它们相外切 因此 c1c2 r1 r2 探究一 探究二 探究三 易错辨析 3 假设存在m使得圆c1与圆c2内含 故不存在m使得圆c1与圆c2内含 反思感悟判断两圆的位置关系 通常采用几何法 而不是用两圆公共点的个数来判断 因为它们之间并不是一一对应关系 如两圆只有一个公共点时 两圆可能内切 也可能外切 两圆没有公共点时 它们可能相离 也可能内含 无法确定是哪一种位置关系 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练1 1 若圆c1 x2 y2 2mx m2 4与圆c2 x2 y2 2x 8外切 则m的值为 a 6b 4c 6或4d 不存在 2 若圆b x2 y2 b 0与圆c x2 y2 6x 8y 0没有公共点 则b的取值范围是 解析 1 将两圆的方程整理得圆c1 x m 2 y2 4 圆c2 x 1 2 y2 9 所以两圆的圆心坐标分别为 m 0 1 0 半径分别为2 3 由已知得 m 1 2 3 解得m 6或m 4 2 由已知圆c x 3 2 y 4 2 25 圆b x2 y2 b b 0 b 0 圆b的圆心恰在圆c上 要想两圆无公共点 答案 1 c 2 b 100 探究一 探究二 探究三 易错辨析 例2 已知圆o x2 y2 25和圆c x2 y2 4x 2y 20 0相交于a b两点 1 求线段ab的垂直平分线的方程 2 求ab所在直线的方程 3 求公共弦ab的长度 分析 1 线段ab的垂直平分线即两圆圆心的连线 2 两圆方程相减即得ab所在直线的方程 3 利用几何法根据勾股定理求ab的长 探究二两圆的公共弦问题 探究一 探究二 探究三 易错辨析 解 1 因为两圆相交于a b两点 所以线段ab的垂直平分线就是两圆的圆心的连线 又圆o x2 y2 25的圆心o 0 0 圆c x 2 2 y 1 2 25的圆心c 2 1 所以koc 由点斜式得y x 即x 2y 0 故ab的垂直平分线的方程为x 2y 0 2 将两圆方程相减即得公共弦ab所在直线的方程为4x 2y 5 0 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟1 两圆相交时 公共弦所在的直线方程的求法若圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0与圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0相交 则两圆公共弦所在直线的方程为 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 即两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程 2 公共弦长的求法 1 代数法 将两圆的方程联立 解出交点坐标 利用两点间的距离公式求出弦长 2 几何法 求出公共弦所在直线的方程 利用圆的半径 半弦长 弦心距构成的直角三角形 根据勾股定理求解 3 1 当两圆内切时 两圆方程相减所得直线方程即为两圆的公切线方程 当两圆外切时 两圆方程相减所得直线方程为两圆的内公切线的方程 2 当两圆相离时 两圆方程相减也能得一条直线方程 但这条直线方程不是两圆的公共弦所在的直线方程 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练2已知圆c1 x2 y2 2x 2y 8 0与圆c2 x2 y2 2x 10y 24 0相交于a b两点 1 求公共弦ab所在直线的方程 2 求圆心在直线y x上 且经过a b两点的圆的方程 并整理得公共弦ab所在直线的方程为x 2y 4 0 探究一 探究二 探究三 易错辨析 2 由 1 得x 2y 4 将其代入x2 y2 2x 2y 8 0中并整理得y2 2y 0 圆心在直线y x上 设圆心为m x x 则 ma mb 解得x 3 即m 3 3 圆m的方程为 x 3 2 y 3 2 10 探究一 探究二 探究三 易错辨析 探究三与两圆相切有关的问题 例3 已知点f 0 1 一动圆过点f且与圆x2 y 1 2 8内切 求动圆圆心的轨迹方程 分析 解答本题的关键是通过内切建立等量关系 解题时应注意半径间的关系 探究一 探究二 探究三 易错辨析 反思感悟涉及与圆相关的轨迹求法 1 建立适当的坐标系 2 利用圆与圆的位置关系建立等量关系 3 对上述等量关系进行化简 4 明确曲线形式 并验证范围的有效性 探究一 探究二 探究三 易错辨析 变式训练3若圆x2 y2 ax 2y 1 0与圆x2 y2 1关于直线y x 1对称 过点c a a 的圆p与y轴相切 则圆心p的轨迹方程为 a y2 4x 4y 8 0b y2 2x 2y 2 0c y2 4x 4y 8 0d y2 2x y 1 0解析 由圆x2 y2 ax 2y 1 0与圆x2 y2 1关于直线y x 1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y x 1上 故可得a 2 即点c 2 2 所以过点c 2 2 且与y轴相切的圆p的圆心的轨迹方程为 x 2 2 y 2 2 x2 整理得y2 4x 4y 8 0 答案 c 探究一 探究二 探究三 易错辨析 忽略了两圆内切的情况而致误 典例 求半径为4 与圆a x2 y2 4x 2y 4 0相切 且和直线y 0相切的圆c的方程 错解由题意知所求的圆与直线y 0相切 且半径为4 设其圆心c的坐标为 a 4 则其方程为 x a 2 y 4 2 42 圆a的方程可整理为 x 2 2 y 1 2 32 所以其圆心为a 2 1 半径为3 由两圆相切得 ca 3 4 7 探究一 探究二 探究三 易错辨析 正解 由题意设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 圆心为c 因为圆c与直线y 0相切且半径为4 所以圆心c的坐标为 a 4 或 a 4 依题可知圆a x2 y2 4x 2y 4 0的圆心a的坐标为 2 1 半径为3 若两圆相切 则 ca 4 3 7或 ca 4 3 1 当圆心c的坐标为c a 4 时 当圆心c的坐标为 a 4 时 探究一 探究二 探究三 易错辨析 纠错心得1 当圆和直线y 0相切时 圆心可能在直线y 0的上方 也可能在直线y 0的下方 圆与圆相切有外切和内切两种情况 考虑问题应全面 2 错解只考虑了圆心在直线y 0上方的情形 同时只考虑了两圆外切的情况 1 2 3 4 5 6 1 圆c1 x 1 2 y 2 2 4与圆c2 x 2 2 y 2 2 9的位置关系是 a 相离b 外切c 相交d 内切 则d r1 r2 即两圆外切 答案 b 1 2 3 4 5 6 2 已知圆x2 y2 4x 6y 0和圆x2 y2 6x 0交于a b两点 则公共弦ab的垂直平分线的方程为 a x y 3 0b 2x y 5 0c 3x y 9 0d 4x 3y 7 0解析 由题意知 公共弦ab的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线 两圆的圆心分别为 2 3 3 0 直线方程为3x y 9 0 答案 c 1 2 3 4 5 6 3 半径为6的圆与x轴相切 且与圆x2 y 3 2 1内切 则此圆的方程为 a x 4 2 y 6 2 6b x 4 2 y 6 2 6c x 4 2 y 6 2 36d x 4 2 y 6 2 36解析 由题意知 设所求圆的方程为 x a 2 y 6 2 36 又与圆x2 y 3 2 1内切 a2 16 a 4 选d 答案 d 1 2 3 4 5 6 4 过两圆c1 x 4 2 y 5 2 10 c2 x 2 2 y 7 2 12的交点的直线方程为 解析 将两圆方程化为一般式并联立得 两式相减得12x 4y 10 0 即6x 2y 5 0 答案 6x 2y 5 0 1 2 3 4 5 6 5 以 4 3 为圆心 且与圆x2 y2 1外切的圆的方程为 得r 4 故所求圆的方程为 x 4 2 y 3 2 16 答案 x 4 2 y 3 2 16 6 如图 圆o1与圆o2的半径都等于1 o1o2 4 过动点p分别作圆o1 圆o2的切线pm pn m n为切点 使得 pm pn 建立适当