北师大版必修五 第二章 §3　解三角形的实际应用举例 学案.docx

3 解三角形的实际应用举例学习目标1.准确理解仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握一些常见问题的测量方案.3.培养把实际问题抽象为数学问题的能力知识点一 常用角思考 试画出“北偏东60”和“南偏西45”的示意图答案 梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90度的角(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角(如下图所示)知识点二 测量方案思考 如何不登月测量地月距离？答案 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离梳理 测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度一般来说，基线越长，精确度越高知识点三 把实际问题抽象为数学问题思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到a处时测得公路北侧远处一山顶d在北偏西75的方向上，行驶5 km后到达b处，测得此山顶在北偏西65的方向上，仰角为8，怎样求此山的高度cd？该问题的数学本质是什么？答案 先在abc中，用正弦定理求bc，再在rtdbc中求dcbctan 8.问题本质如图，已知三棱锥 dabc，dc平面abc，abm，用，m，表示dc的长梳理 解与三角形有关的应用题的步骤(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语(2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答1在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针()2在仰角或俯角中，视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影()类型一 平面内的测量问题命题角度1 水平平面内的测量问题例1 如图，在海岸a处发现北偏东45方向，距a处(1)海里的b处有一艘走私船在a处北偏西75方向，距a处2海里的c处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从b处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离解 设缉私船应沿cd方向行驶t小时，才能最快截获(在d点)走私船，则cd10t，bd10t，在abc中，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccos a(1)2222(1)2cos 1206，bc.又，sinabc，又abc(0，60)，abc45，b点在c点的正东方向上，cbd9030120，在bcd中，由正弦定理得，sinbcd.又bcd(0，60)，bcd30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在bcd中，cbd120，bcd30，d30，bdbc，即10t.t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题跟踪训练1 甲船在a点发现乙船在北偏东60的b处，乙船以每小时a海里的速度向正北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离解 如图所示设经过t小时两船在c点相遇，则在abc中，bcat 海里，acat海里，b9030120，由，得sincab，0cab60，cab30，dac603030，甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇命题角度2 竖直平面内的测量问题例2 如图所示，d，c，b在地平面同一直线上，dc10 m，从d，c两地测得a点的仰角分别为30和45，则a点离地面的高ab等于( )a10 m b5 m c5(1) m d5(1) m考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 d解析 方法一 设abx m，则bcx m.bd(10x) m，tanadb，解得x5(1) m.a点离地面的高ab等于5(1) m.方法二 acb45，acd135，cad1801353015.由正弦定理，得acsin adcsin 30 .abacsin 455(1) m.反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进跟踪训练2 某登山队在山脚a处测得山顶b的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1 000 m后到达点d处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为 m(精确到1 m)答案 811解析 如图，过点d作deac交bc于点e，因为dac20，所以ade160，于是adb36016065135.又bad352015，所以abd30.在abd中，由正弦定理，得ab1 000(m)在rtabc中，bcabsin 35811(m)答 山的高度约为811 m.类型二 空间中的测量问题例3 如图所示，a，b是水平面上的两个点，相距800 m，在a点处测得山顶c的仰角为45，bad120，又在b点处测得abd45，其中d点是点c到水平面的垂足，求山高cd.考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度解 由于cd平面abd，cad45，所以cdad.因此只需在abd中求出ad即可，在abd中，bda1804512015，由，得ad800(1)(m)即山的高度为800(1) m.反思与感悟 测量方向角求高度问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某一个量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题跟踪训练3 如图，为测得河对岸塔ab的高，先在河岸上选一点c，使c在塔底b的正东方向上，测得点a的仰角为60，再由点c沿北偏东15方向走10 m到位置d，测得bdc45，则塔ab的高是( )a10 m b10 mc10 m d10 m考点 解三角形求高度题点 测量方向角、仰角求高度答案 d解析 在bcd中，cd10 m，bdc45，bcd1590105，dbc30，由正弦定理，得，bc10(m)在rtabc中，tan 60，abbctan 6010(m)1如图所示，设a，b两点在河的两岸，一测量者与a在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点c，测出a，c的距离为50 m，acb45，cab105后，就可以计算出a，b两点的距离为( )a50 m b50 mc25 m d. m考点 解三角形求距离题点 测量可到达点与不可到达点间的距离答案 a解析 b1804510530，在abc中，由，得ab10050 (m)2如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 千米，那么x的值是 考点 几何图形中的计算问题题点 三角形有关的几何图形计算问题答案 4解析 由余弦定理，得x293x13，整理得x23x40，解得x4或x1(舍)3如图，为了测量a，c两点间的距离，选取同一平面上b，d两点，测出四边形abcd各边的长度(单位：km)：ab5，bc8，cd3，da5，a，b，c，d四点共圆，则ac的长为 km.考点 几何图形中的计算问题题点 四边形有关的几何图形计算问题答案 7解析 因为a，b，c，d四点共圆，所以db.在abc和adc中，由余弦定理可得8252285cos(d)3252235cos d，整理得cos d，代入得ac2325223549，故ac7.4.如图，测量河对岸的塔高ab时，选取与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d，测得bcd15，bdc30，cd30米，并在点c测得塔顶a的仰角为60，则塔高ab 米考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 15解析 在bcd中，cbd1801530135.由正弦定理，得，所以 bc15.在rtabc中，abbctanacb15tan 6015(米)1运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别2空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题3正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解一、选择题1为了测某塔ab的高度，在一幢与塔ab相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30，塔基的俯角为45，那么塔ab的高为( )a20 m b20 mc20(1) m d30 m考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 a解析 塔的高度为20tan 3020tan 4520(m)，故选a.2在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为( )a200 m b300 m c400 m d100 m考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 b解析 如图，bed，bdc为等腰三角形，bded600 m，bcdc200 m.在bcd中，由余弦定理可得cos 2，0290，230，460.在rtabc中，abbcsin 4200300(m)，故选b.3海上有a，b两个小岛相距10 n mile，从a岛望c岛和b岛成60的视角，从b岛望c岛和a岛成75的视角，则b，c间的距离是( )a10 n mile b. n milec5 n mile d5 n mile考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离答案 d解析 在abc中，c180607545.由正弦定理，得，解得bc5 n mile.4已知两座灯塔a，b与海洋观察站c的距离相等，灯塔a在观察站c的北偏东40，灯塔b在观察站c的南偏东60，则灯塔a在灯塔b的( )a北偏东10 b北偏西10c南偏东10 d南偏西10考点 三角形中角度的求解题点 三角形中角度的求解答案 b解析 如图，因为abc为等腰三角形，所以cba(18080)50，605010，故选b.5从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30，看正南方向有一只船俯角为45，则此时两船间的距离为( )a2h米 b.h米c.h米 d2h米考点 解三角形求距离题点 测量俯角(仰角)求距离答案 a解析 如图所示，bch，ach，ab2h(米)6某人在c点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10 m到d，测得塔顶a的仰角为30，则塔高为( )a15 m b5 mc10 m d12 m考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 c解析 如图，设塔高为h，在rtaoc中，aco45，则ocoah.在rtaod中，ado30，则odh.在ocd中，ocd120，cd10，由余弦定理，得od2oc2cd22occdcosocd，即(h)2h21022h10cos 120，h25h500，解得h10或h5(舍)即塔高为10 m.7如图所示为起重机装置示意图支杆bc10 m，吊杆ac15 m，吊索ab5 m，起吊的货物与岸的距离ad为( )a.30 mb. mc.15 md.45 m考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用答案 b解析 在abc中，cosabc，abc(0，)，sinabc ，在rtabd中，adabsinabc5(m)二、填空题8.如图所示为一角槽，已知abad，abbe，并测量得ac3 mm，bc2 mm，ab mm，则acb .考点 解三角形求角度题点 解三角形求角度答案 解析 在abc中，由余弦定理，得cosacb.因为acb(0，)，所以acb.9要测量对岸两点a，b之间的距离，选取相距 km的c，d两点，并测得acb75，bcd45，adc30，adb45，则a，b之间的距离为 km.考点 解三角形求距离题点 测量两个不可到达点间的距离答案 解析 如图，在acd中，acd120，cadadc30，accd km.在bcd中，bcd45，bdc75，cbd60，bc (km)在abc中，由余弦定理，得ab2()222cos 75325，ab km.a，b之间的距离为 km.10如图所示，在地面上共线的三点a，b，c处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且abbc60 m，则建筑物的高度为 m.考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度答案 30解析 设建筑物的高度为h，由题图知，pa2h，pbh，pch，在pba和pbc中，分别由余弦定理，得cospba，cospbc.pbapbc180，cospbacospbc0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.三、解答题11如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树他在点a处发现桃树顶端点c的仰角大小为45，往正前方走4 m后，在点b处发现桃树顶端点c的仰角大小为75.(1)求bc的长；(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点c离地面的高度(精确到0.01 m，其中1.732)考点 解三角形求高度题点 测量俯角(仰角)求高度解 (1)由题意，得cab45，dbc75，则acb754530，ab4，由正弦定理得，解得bc4，即bc的长为4 m.(2)在cbd中，cdb90，bc4，所以dc4sin 75.因为sin 75，则dc22，所以ceeddc1.70223.703.4647.16 (m)即这棵桃树顶端点c离地面的高度约为7.16 m.12甲船在a处，乙船在a的南偏东45方向，距a有9海里的b处，并以20海里/时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，最快用多少小时能追上乙船？考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离解 如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在c处相遇在abc中，ac28t，bc20t，ab9，abc1804515120.由余弦定理得ac2ab2bc22abbccosabc，即(28t)292(20t)22920t，128t260t270，t或t(舍去)，甲船最快用小时能追上乙船13在某次地震时，震中a(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市b，c，d.已知b，c两市相距20 km，c，d相距34 km，c市在b，d两市之间，如图所示，某时刻c市感到地表震动，8 s后b市感到地表震动，20 s后d市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中a到b，c，d三市的距离考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用解 在abc中，由题意得abac1.5812 (km)在acd中，由题意得adac1.52030 (km)设acx km，ab(12x) km，ad(30x) (km)在abc中，cosacb，在acd中，cosacd.b，c，d在一条直线上，即，解得x.ab km，ad km.即震中a到b，c，d三