北师大版必修三 建立概率模型 学案.docx

2.2建立概率模型学习目标1.认识和理解对于同一个随机试验，可以根据需要来合理建立需要的概率模型.2.学会选用比较简单、适用的概率模型解决实际生活中有关概率的问题知识点一基本事件的相对性思考掷一枚均匀的骰子，计算“向上的点数为奇数”的概率，可以怎样规定基本事件？答案可以规定向上的点数为1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；也可以规定“向上的点数为奇数”、“向上的点数为偶数”共2个基本事件梳理在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型知识点二同一问题的不同概率模型从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单1基本事件具有相对性()2同一个问题从不同角度可以构建出不同的概率模型()类型一基本事件的相对性例1从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率解每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的用a表示“取出的两件中恰有一件次品”，所以a(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)因为事件a由4个基本事件组成，所以p(a).反思与感悟“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验，若采用“有放回”抽样，则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取跟踪训练1一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的求两个小球上的数字为相邻整数的概率解设事件a：两个小球上的数字为相邻整数则事件a包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,9)，(9,8)，(8,7)，(7,6)，(6,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共18个(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故p(a).(2)有放回取球时，总的基本事件数为100，故p(a).类型二概率模型的多角度构建例2口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球试计算第二个人摸到白球的概率解方法一需要找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数解题过程如下：用a表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示：由上图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以，这24种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12种，故第二个人摸到白球的概率p(a).方法二把2个白球编上序号1,2，两个黑球也编上序号1,2,4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸出的球的所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6种，故第二个人摸到白球的概率p(a).方法三由于4个球除颜色外完全相同，如果对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，4个人按顺序依次从袋中摸出一球，所有可能的结果如图所示：由图可知，试验的所有结果数是6，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这6种结果出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有3种，故第二个人摸到白球的概率p(a).方法四只考虑第二个人摸出的球的情况第二个人可能摸到口袋中的任何一个，共4种结果，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这4种结果出现的可能性相同，其中，摸到白球的结果有2种，故第二个人摸到白球的概率p(a).反思与感悟当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树状图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法树状图可以清晰准确地列出所有的基本事件，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果更利于模型的建立与解答跟踪训练2假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为a，c，j， ，s，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用，如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：(1)女孩 得到一个职位；(2)女孩 和s各自得到一个职位解5个人仅有3人被录用的结果共有10种，如图所示，由于5个人被录用的机会相等，所以这10种结果出现的可能性相同(1)女孩 被录用的结果有6种，所以她得到一个职位的概率为.(2)女孩 和s都被录用的结果有3种，所以 和s各自得到一个职位的概率为.1有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌，将牌正面向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率为()a. b. c. d.答案a解析从5张牌中任抽一张，共有5种可能的结果，抽到红心的可能结果有3种p.2某农 院在22的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为()a. b. c. d.答案d解析如图给4块试验田分别标号a1，a2，b1，b2.基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6种基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”(记为事件a)的基本事件有(a1，b2)，(a2，b1)，共2种p(a)，故选d.3从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是()a. b. c. d.答案d解析设3个元素为a，b，c，则所有子集共8个：，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，含2个元素的子集共3个，故所求概率为.4在1,2,3,4,5五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是_答案解析在1,2,3,4,5五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种可能的结果：1,2，1,3，1,4，1,5，2,3，2,4，2,5，3,4，3,5，4,5，其中两个数字都是奇数包含3种结果：1,3，1,5，3,5，故所求的概率为.5如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间22,30)内的概率为_.1892122793003答案0.4解析10个数据落在区间22,30)内的数据有22,22,27,29，共4个，因此，所求的概率为0.4.1对同一个概率问题，如果从不同的角度去考虑，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而得到古典概型的所有可能的结果越少，问题的解决就越简单因而在平时的学习中要多积累从不同的角度解决问题的方法，逐步达到活用2基本事件总数的确定方法(1)列举法：此法适于较简单的试验，就是把基本事件一一列举出来；(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求；(3)列表法：列表法也是列举法的一种，这种方法能够清楚地显示基本事件的总数，不会出现重复或遗漏；(4)分析法：分析法能解决基本事件总数较大的概率问题3在计算基本事件的总数时，由于分不清“有序”和“无序”，因而常常导致出现“重算”或“漏算”的错误解决这一问题的有效方法是交换次序，看是否对结果有影响，并合理使用分步法.一、选择题1集合a2,3，b1,2,3，从a，b中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()a. b. c. d.答案c解析从a，b中任意取一个数，共有6种情形，两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，p.2老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，则女同学甲被抽到的概率为()a. b. c. d.答案c解析由题意知，在抽出的容量为10的样本中，有204(名)女同学，每个女同学被抽到的概率是一样的，所以女同学甲被抽到的概率为.3在5张卡片上分别写1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是()a0.2 b0.4 c0.6 d0.8答案c解析一个数能否被2或5整除取决于个位数字，故可只考虑个位数字的情况因为组成的五位数中，个位数共有1,2,3,4,5五种情况，其中个位数为2,4时能被2整除，个位数为5时能被5整除故所求概率为p0.6.4若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()a. b. c. d.答案d解析由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率p.5先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为()a. b. c. d.答案c解析由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为.6有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()a. b. c. d.答案a解析由题意设3个兴趣小组分别为a，b，c.试验发生包含的基本事件为aa，ab，ac，ba，bb，bc，ca，cb，cc，共9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到p，故选a.7四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()a. b. c. d.答案a解析从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，共四种，其中能构成三角形的有(3,5,7)一种，故概率p.8从分别写有a，b，c，d，e的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是()a. b. c. d.答案b解析从5张卡片中任取2张有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种结果，而恰好按字母顺序相邻的有ab，bc，cd，de ,4种结果，故此事件的概率为.二、填空题9从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是_答案解析设3件正品为a，b，c,1件次品为d，从中不放回任取2件，有以下基本事件：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6个其中恰有1件是次品的基本事件有ad，bd，cd，共3个，故p.10某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则他们淋雨的概率为_考点古典概型计算公式题点古典概型概率公式的直接应用答案解析用a，b分别表示下雨和不下雨，用a，b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)，则当(a，b)发生时就会被雨淋到，淋雨的概率为p.11已知x，y0,1,2,3,4,5，p(x，y)是坐标平面内的点，则点p在x轴上方的概率为_答案解析由于点p与x轴的位置关系只与纵坐标有关，因此，纵坐标的6种可能结果中，有5种在x轴上方，所以点p在x轴上方的概率为.三、解答题12一枚质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，抛掷这枚正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字(1)若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；(2)若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率解(1)记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为a，抛掷这枚正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有2,3,4，1,3,4，1,2,4，1,2,3，共有4种情况，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则p(a).(2)记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为b，两次朝下面上的数字构成的数对共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共6种，则p(b).13一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个因此所求事件的概率p.(2)先从