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第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）一知识要点：1， 什么是空间向量：什么是相等的向量？2， 空间向量的加减与数乘运算及运算律；3， 共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；4， 空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式5， 空间向量夹角和模的概念及表示方法；二典型例题例已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体记作ABCDABCD 例2已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？例3已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面例4用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且求证：例5已知空间四边形中，求证：说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。例6如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值。考点透析：考点一：向量的数量积运算1）定义： 设=,则 （的范围为 ）设，则 。注：不能写成，或 的结果为一个数值。2）投影：在方向上的投影为 。3）向量数量积运算律： 注：没有结合律例题讲练1、下列命题：若，则，中至少一个为若且，则中正确有个数为 （ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2、已知中，A，B，C所对的边为a,b,c，且a=3,b=1,C=30,则= 。3、若，满足，且，则= 。4、已知，且与的夹角为，则在上的投影为 。考点二：向量数量积性质应用 （用于判定垂直问题）（用于求模运算问题）（用于求角运算问题）例题讲练1、已知，且与的夹角为，求当m为何值时2、已知，则 。3、已知和是非零向量，且=，求与的夹角4、已知，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围七、课堂练习(一)1已知两个非零向量不共线，如果，求证：共面2已知，若，求实数的值。3如图，分别为正方体的棱的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面4已知分别是空间四边形边的中点，（1）用向量法证明：四点共面；（2）用向量法证明：平面（二）1、已知和是两个单位向量，夹角为，则（）等于（ ）A.-8 B. C. D.82、已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 3、在中，设，若，则（ ） 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 无法判定4、已知和是
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