北师大版选修11 1.1 椭圆及其标准方程 学案.docx

1.1椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.知识点一椭圆的定义我们把平面内到两个定点f1，f2的距离之和等于常数(大于|f1f2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1 (ab0)1 (ab0)焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a、b、c的关系c2a2b2c2a2b2思考(1)椭圆定义中，将“大于|f1f2|”改为“等于|f1f2|”或“小于|f1f2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于|f1f2|时，动点的轨迹就是线段f1f2；当距离之和小于|f1f2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.题型一用待定系数法求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，椭圆上一点p到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0).因为2a10，所以a5.又因为c4，所以b2a2c252429.故所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以解得故所求椭圆的标准方程为x21.反思与感悟求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成ax2by21(a0，b0，ab)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.跟踪训练1求焦点在坐标轴上，且经过a(，2)和b(2，1)两点的椭圆的标准方程.解方法一(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得此时不符合ab0，所以方程组无解.故所求椭圆的标准方程为1.方法二设所求椭圆的方程为ax2by21(a0，b0且ab)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.题型二椭圆定义的应用例2已知两定点f1(1,0)，f2(1,0)，动点p满足|pf1|pf2|2|f1f2|.(1)求点p的轨迹方程；(2)若f1pf260，求pf1f2的面积.解(1)依题意知|f1f2|2，|pf1|pf2|2|f1f2|42|f1f2|，点p的轨迹是以f1、f2为焦点的椭圆，且2a4,2c2，a2，c1，b，故所求点p的轨迹方程为1.(2)设m|pf1|，n|pf2|，则mn2a4.在pf1f2中，由余弦定理，得|f1f2|2m2n22mncosf1pf2，4(mn)22mn(1cos 60)，解得mn4.spf1f2mnsinf1pf24sin 60.反思与感悟在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|pf1|pf2|看作一个整体来处理.跟踪训练2如图所示，已知过椭圆1的右焦点f2的直线ab垂直于x轴，交椭圆于a，b两点，f1是椭圆的左焦点.求af1b的周长.解如题图所示，由题意知，点a，b在椭圆1上，所以a5，故有|af1|af2|2a10，|bf1|bf2|2a10，|af2|bf2|ab|，所以af1b的周长为|af1|bf1|ab|af1|bf1|af2|bf2|(|af1|af2|)(|bf1|bf2|)2a2a20.题型三与椭圆有关的轨迹问题例3 已知b、c是两个定点，|bc|8，且abc的周长等于18.求这个三角形的顶点a的轨迹方程.解以过b、c两点的直线为x轴，线段bc的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，如图所示.由|bc|8可知点b(4,0)，c(4,0).由|ab|ac|bc|18得|ab|ac|108|bc|，因此，点a的轨迹是以b、c为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点a不在x轴上.由a5，c4，得b2a2c225169.所以点a的轨迹方程为1(y0).反思与感悟利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.跟踪训练3 已知圆a：(x3)2y2100，圆a内一定点b(3,0)，圆p过点b且与圆a内切，求圆心p的轨迹方程.解如图，设圆p的半径为r，又圆p过点b，|pb|r.又圆p与圆a内切，圆a的半径为10，两圆的圆心距|pa|10r，即|pa|pb|10(大于|ab|6).圆心p的轨迹是以a、b为焦点的椭圆.2a10,2c|ab|6.a5，c3，b2a2c225916.圆心p的轨迹方程为1.分类讨论思想的应用例4设f1，f2为椭圆1的两个焦点.p为椭圆上的一点，已知p，f1，f2是一个直角三角形的三个顶点，且|pf1|pf2|，求的值.分析已知p，f1，f2是一个直角三角形的三个顶点，并未指明哪个角是直角，由|pf1|pf2|，知pf2f1pf1f2，因此pf1f2不会是直角，但是f1pf2与pf2f1都有可能为直角，故应分类讨论.解由题意，得|pf1|pf2|6，|f1f2|2.根据直角的不同位置，分两种情况：若pf2f1为直角，则|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即|pf1|2(6|pf1|)220，解得|pf1|，|pf2|，故；若f1pf2为直角，则|f1f2|2|pf1|2|pf2|2，即20|pf1|2(6|pf1|)2，解得|pf1|4，|pf2|2(由于|pf1|pf2|，故舍去|pf1|2，|pf2|4)，故2.综上所述，的值为或2.解后反思分类讨论思想在解决椭圆的有关问题时经常用到，如在求椭圆的标准方程时，常对焦点所在的坐标轴进行分类讨论.1.设f1，f2为定点，|f1f2|6，动点m满足|mf1|mf2|6，则动点m的轨迹是()a.椭圆 b.直线 c.圆 d.线段答案d解析|mf1|mf2|6|f1f2|，动点m的轨迹是线段.2.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()a.1 b.2 c.3 d.4答案b解析由题意得，椭圆标准方程为x21，又其一个焦点坐标为(0,1)，故11，解得k2.3.设p是椭圆1上一点，p到两焦点f1，f2的距离之差为2，则pf1f2是()a.锐角三角形 b.直角三角形c.钝角三角形 d.等腰直角三角形答案b解析根据椭圆的定义知|pf1|pf2|8.又|pf1|pf2|2，所以|pf1|5，|pf2|3.而|f1f2|4，所以|f1f2|2|pf2|2|pf1|2，所以pf1f2是直角三角形，故选b.4.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件答案c解析方程可化为1.若mn0，则00，可得mn0.5.已知椭圆1上一点p与椭圆两焦点f1、f2的连线夹角为直角，则|pf1|pf2|_.答案48解析依题意知，a7，b2，c5，|f1f2|2c10.由于pf1pf2，所以由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即|pf1|2|pf2|2100.又由椭圆定义知|pf1|pf2|2