北师大版选修11 3.2 双曲线的简单性质 学案.docx

3.2双曲线的简单性质学习目标1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识点一双曲线的简单性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图像性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)实轴和虚轴线段a1a2叫作双曲线的实轴；线段b1b2叫作双曲线的虚轴渐近线yxyx离心率e，e(1，)知识点二双曲线的渐近线(1)根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程，简单且实用的方法是如果两条渐近线的方程为0，那么双曲线的方程为m(m0)(2)共渐近线yx的双曲线方程为(0)，若0，则双曲线的焦点在x轴上；若0，焦点在y轴上思考(1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？答案(1)不一样椭圆的离心率0e1.(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线yx的双曲线可设为(0，r)，当0时，焦点在x轴上，当0，b0)，则.a(2，3)在双曲线上，1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.a(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，a(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.反思与感悟由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)，从而直接求出来当双曲线的渐近线方程为yx时，可以将方程设为(0)跟踪训练2根据条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线1有共同渐近线，且过点(3，2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)解(1)设所求双曲线方程为(0)，由题意可知，解得.所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为1(16k0，4k0)，双曲线过点(3，2)，1，解得k4或k14(舍去)所求双曲线的标准方程为1.题型三直线与双曲线的位置关系例3直线l在双曲线1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程解设直线l的方程为y2xm，由得10x212mx3(m22)0.(*)设直线l与双曲线交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2(m22)又y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，|ab|2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x25m24(m22)|ab|4，m26(m22)16.3m270，m.由(*)式得24m2240，把m代入，得0，m的值为.所求直线l的方程为y2x.反思与感悟直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程要注意根与系数的关系，根的判别式的应用若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解跟踪训练3设双曲线c：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点a、b.(1)求实数a的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为p，若，求a的值解(1)将yx1代入双曲线方程y21(a0)，得(1a2)x22a2x2a20. 依题意有所以0a0，解得a.分类讨论思想的应用例4已知双曲线方程为2x2y22.(1)过定点p(2,1)作直线l交双曲线于p1，p2两点，当点p(2,1)是弦p1p2的中点时，求此直线方程；(2)过定点q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线交于q1，q2两点，且q是弦q1q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由分析(1)点p是弦p1p2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程组成方程组，结合根与系数的关系和中点坐标公式可求解(2)先假设直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，验证根的情况解(1)若直线的斜率不存在，即p1p2x轴，则由双曲线的对称性，知弦p1p2的中点在x轴上，不可能是点p(2,1)，所以直线l的斜率存在故可设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1.由消去y并化简，得(2k2)x22k(2k1)x4k24k30.设直线l与双曲线的交点为p1(x1，y1)，p2(x2，y2)当2k20，即k22时，x1x2.因为点p(2,1)是弦p1p2的中点，所以2，解得k4.当k4时，4k2(2k1)24(2k2)(4k24k3)2800.当k22，即k时，直线与双曲线渐近线的斜率相等，即斜率为k的直线l与双曲线不可能有两个交点综上所述，所求直线方程为4xy70.(2)假设这样的直线l存在，设q1(x1，y1)，q2(x2，y2)，则1，1.所以x1x22，y1y22，且两式相减，得(2x2x)(yy)0，所以2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以2(x1x2)(y1y2)0.若直线q1q2x轴，则线段q1q2的中点不可能是点q(1,1)，所以直线q1q2的斜率存在，故k2.所以直线q1q2的方程为y12(x1)，即y2x1.由得2x2(2x1)22，即2x24x30，得16240.这就是说，直线l与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在解后反思在本题的解答过程中，共有3次用到了分类讨论思想：在(1)中，先对直线的斜率是否存在进行了讨论，再对一元二次方程的二次项系数是否为零进行了讨论；在(2)中，对q1q2是否与x轴垂直进行了讨论1双曲线1的焦点到渐近线的距离为()a2b2c.d1答案a解析双曲线1的一个焦点为f(4,0)，其中一条渐近线方程为yx，点f(4,0)到xy0的距离为2.2双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()a b4 c4 d.答案a解析由双曲线方程mx2y21，知mb，只有b1f1b260，tan 30，cb，又a2c2b22b2，e.1.渐近线是双曲线特有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程1 (a0，b0)右边