第六章 时变电磁场.pdfVIP

第六章第六章时变电磁场时变电磁场 主主 要要 内内 容容 1 1 位移电流 位移电流 2 2 麦克斯韦方程 麦克斯韦方程 3 3 边界条件 边界条件 4 4 位函数方程 位函数方程 5 5 能量密度与能量密度矢量 能量密度与能量密度矢量 6 6 正弦电磁场 正弦电磁场 7 7 麦克斯韦方程的复矢量形式 麦克斯韦方程的复矢量形式 静电场静电场时变电场时变电场 0E D B E t D 恒定磁场恒定磁场时变磁场时变磁场 H 0B HJ 0B 时变场中 电荷守恒定律 时变场中 电荷守恒定律 0H 电荷守恒定律与安培环路定理的矛盾电荷守恒定律与安培环路定理的矛盾 0J t 安培环路定理 安培环路定理 HJ 0J 二 者 矛 盾 二 者 矛 盾 电荷守恒定律电荷守恒定律是更基础的定律 因此时变场中是更基础的定律 因此时变场中安培环路安培环路 定理定理需要修正 需要修正 上式中上式中的的具有具有电流密度量纲电流密度量纲 麦克斯韦将麦克斯韦将其其称为位称为位 移电流密度移电流密度 以以JD表示表示 D t S D dSq S q J dS t 0 S D JdS t 由由电荷守恒定律电荷守恒定律和和高斯定理高斯定理得 得 0 D J t 位移电流位移电流 0 D JJ 上式称为上式称为全电流连续性原理全电流连续性原理 0 D S JJdS 0 S D JdS t 0 D J t 对于静电场对于静电场 由于由于 自然不存在位移电流自然不存在位移电流 0 D t 即即 上两式称为上两式称为全电流定律全电流定律 它表明时变磁场是由 它表明时变磁场是由传导传导 电流电流 运流电流运流电流和和位移电流位移电流共同产生的 共同产生的 位移电流是由时变电场形成的 由此可见 时变位移电流是由时变电场形成的 由此可见 时变 电场可以产生时变磁场 电场可以产生时变磁场 CVD CSSS H dlJdSJdSJdS t D JH 麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场 麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场 因此安培因此安培环路环路 定律变为定律变为 讨讨 论论对全电流定律和位移电流的讨论对全电流定律和位移电流的讨论 时变场情况下 磁场仍是有旋场 但旋涡源除传导电流时变场情况下 磁场仍是有旋场 但旋涡源除传导电流 外 还有位移电流外 还有位移电流 位移电流代表电场随时间的变化率 当电场发生变化时 会位移电流代表电场随时间的变化率 当电场发生变化时 会 形成磁场的旋涡源 位移电流 从而激发起磁场形成磁场的旋涡源 位移电流 从而激发起磁场 推广的安培环路定律物理意义 随时间变化的电场会激发磁推广的安培环路定律物理意义 随时间变化的电场会激发磁 场场 位移电流是一种假想电流 由麦克斯韦用数学方法引入 但位移电流是一种假想电流 由麦克斯韦用数学方法引入 但 在此假说的基础上 麦克斯韦预言了电磁波的存在 而赫兹在此假说的基础上 麦克斯韦预言了电磁波的存在 而赫兹 通过实验证明了电磁波确实存在 从而反过来证明了位移电通过实验证明了电磁波确实存在 从而反过来证明了位移电 流理论的正确性流理论的正确性 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变 电磁场仍然成立电磁场仍然成立 lS D H dlJdS t lS B E dldS t 0 S B dS S D dSq 积分形式积分形式 D HJ t B E t 0B D 微分形式微分形式 全电流定律全电流定律 电磁感应定律电磁感应定律 磁通连续性原理磁通连续性原理 高斯定律高斯定律 时变电场是有旋有散的 时变磁场是有旋无散时变电场是有旋有散的 时变磁场是有旋无散 的 但是 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的 但是 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割 的 因此 时变电磁场是有旋有散场 的 因此 时变电磁场是有旋有散场 在无源区中 时变电磁场是有旋无散的 在无源区中 时变电磁场是有旋无散的 电场线与磁场线相互交链 自行闭合 从而在电场线与磁场线相互交链 自行闭合 从而在 空间形成电磁波 空间形成电磁波 时变电场与时变磁场处处相互垂直 时变电场与时变磁场处处相互垂直 为了为了完整地描述时变电磁场的特性完整地描述时变电磁场的特性 麦克斯韦方程还麦克斯韦方程还 应包括电荷守恒方程以及说明场与介质关系的方程应包括电荷守恒方程以及说明场与介质关系的方程 即即 JEJ 式中式中代表代表电流源或非电的外源电流源或非电的外源 J HB ED t J 物性方程物性方程 时变时变电磁场的边界条件电磁场的边界条件 电场的边界条件电场的边界条件 2n1nS DD 21 n S eDD 2t1t EE 21 0neEE lS B E dldS t S D dSq 磁场的边界条件磁场的边界条件 lS D H dlJdS t 0 S B dS 2nn1 BB 21 0neBB 21ttS HHJ 21 n S eHHJ 理想导电体理想导电体的边界条件的边界条件 JE 已知在任何边界上 电场强度的切向分量及磁通已知在任何边界上 电场强度的切向分量及磁通 密度的法向分量是连续的 因此理想导体表面上密度的法向分量是连续的 因此理想导体表面上 不可能存在电场切向分量及磁场法向分量 即时不可能存在电场切向分量及磁场法向分量 即时 变电场必须垂直于理想导电体的表面 而时变磁变电场必须垂直于理想导电体的表面 而时变磁 场必须与其表面相切 场必须与其表面相切 E H en et 因因 得 得0 1n D 2nS D 或或 n S eD 因因 求得 求得 0 1t H 2t SHJ nSeHJ 或或 E H en et H1t H2tJS 位函数表示的电磁场方程位函数表示的电磁场方程 静态位静态位 动态位动态位 达朗贝尔方程达朗贝尔方程 方程的解方程的解 22 222 1 0 0 rr r rvt 1 v 式中式中 r z y x r t O 函数函数的的齐次波动方程 其通解为齐次波动方程 其通解为 12 rr rftft vv r 位于原点的时变点电荷产生的标量电位为位于原点的时变点电荷产生的标量电位为 1 r ft v t r r 已知位于原点的静止点电荷已知位于原点的静止点电荷产生的电位为产生的电位为 Vqd d 4 V r r 可见函数可见函数f f1 1为为 V v r t v r tfd 4 1 位于原点的时变点电荷的标量位为位于原点的时变点电荷的标量位为 d d 4 r t v tV r r 位于位于V V 中的体电荷中的体电荷 在在 r r处产生的电位为处产生的电位为 1 4 V rr r t v r tdV rr r r z y x r t V dV v t rr r r r O 将矢量位方程在直角坐标系中展开将矢量位方程在直角坐标系中展开 则矢量位则矢量位A A各各 个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式 每个分量的解结构同前 三个分量合成后 矢量位每个分量的解结构同前 三个分量合成后 矢量位A A 的解为的解为 4 V rr J r t v A r tdV rr x x x J t A A 2 2 2 y y y J t A A 2 2 2 z z z J t A A 2 2 2 即即 推论 位于推论 位于 r 处的源产生的场传到处的源产生的场传到 r 处需要一段时间这段处需要一段时间这段 时差时差就是就是 v rr 为为源点至场点的距离 因此源点至场点的距离 因此 v 代表电磁波的传播速度 代表电磁波的传播速度 rr 1 4 V rr r t v r tdV rr 4 V rr J r t v A r tdV rr 这就是这就是光速光速 通常以 通常以c c 表示 表示 电磁辐射 若某一时刻源已消失电磁辐射 若某一时刻源已消失 只要前一时刻源还只要前一时刻源还 存在存在 它们原来产生的空间场仍然存在它们原来产生的空间场仍然存在 这就表明源这就表明源 已将电磁能量释放到空间已将电磁能量释放到空间 这种现象称为电磁辐射这种现象称为电磁辐射 8 00 1 299 792 458m s3 10 m sv 在真空中在真空中 推论推论1 1 静止电荷或恒定电流一旦消失 静止电荷或恒定电流一旦消失 它们产生的场它们产生的场 也随之失去也随之失去 因而静态场称为束缚场因而静态场称为束缚场 没有辐射作用没有辐射作用 推论推论2 2 时变源的附近 时差很小 场强的变化基本上 时变源的附近 时差很小 场强的变化基本上 与源同步 所以近处的时变场称为似稳场 与源同步 所以近处的时变场称为似稳场 推论推论3 3 离开时变源的远处 由于时差很大 辐射效 离开时变源的远处 由于时差很大 辐射效 应显著 所以远处的时变场称为辐射场 应显著 所以远处的时变场称为辐射场 推论推论4 4 源变化越快 空间滞后越大 即使在源附近 源变化越快 空间滞后越大 即使在源附近 也有显著的电磁辐射 所以似稳场和辐射场的区域划也有显著的电磁辐射 所以似稳场和辐射场的区域划 分不仅取决于空间距离 也和源的变化快慢有关 分不仅取决于空间距离 也和源的变化快慢有关 结论 为了向空间辐射电磁能量 必须使用高频电结论 为了向空间辐射电磁能量 必须使用高频电 流激励发射天线 而通常流激励发射天线 而通常50Hz50Hz的交流电不可能有效的交流电不可能有效 地辐射电磁能量 地辐射电磁能量 滞后位 滞后位 由于由于 和和A 随时间的变化总是比源落后随时间的变化总是比源落后 因因 此此 位函数位函数 及及 A通常称为滞后位通常称为滞后位 前式第二项前式第二项中中的因子的因子意味着场比源意味着场比源 导前 这就不符合先有源后有场的因果关系 导前 这就不符合先有源后有场的因果关系 v r tf2 v r t 那么 它又可理解为向负那么 它又可理解为向负 r 方向传播的波 也就是方向传播的波 也就是 来自无限远处的反射波 来自无限远处的反射波 因子因子又又可写为可写为 v r t v r t v r t 面分布及线分布的电荷及电流产生的标量位和矢量面分布及线分布的电荷及电流产生的标量位和矢量 位分别如下 位分别如下 1 4 S S rr r t v r tdS rr 4 S S rr Jr t v A r tdS rr 1 4 l l rr r t v r tdl rr 4 l rr I r t v A r tdl rr 能量密度能量密度与能流密度矢量与能流密度矢量 2 1 2 e tEtwrr 电场能量密度电场能量密度 2 1 2 m tHtwrr 磁场能量密度磁场能量密度 2 tEtplrr 损耗功率密度损耗功率密度 因此 时变电磁场的能量密度为因此 时变电磁场的能量密度为 2 1 22 tHtEtwrrr 能流密度矢量能流密度矢量的方向表示能量流动方向 其的方向表示能量流动方向 其 大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能 量 或者说垂直穿过单位面积的功率 所以量 或者说垂直穿过单位面积的功率 所以 该矢量又称为功率流密度矢量 该矢量又称为功率流密度矢量 能量流动密度矢量在英美书刊中称为能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印廷坡印廷 矢量矢量 在无外源在无外源 的区域的区域V V中中 若介质是若介质是 线性且各向同性的线性且各向同性的 则此区域中麦克斯韦方程为则此区域中麦克斯韦方程为 H E t 0H 0E 0 0 sJ EJp t E JH E J EHE t E HEE t 利用利用矢量恒等式矢量恒等式EHHEHE EE J EHEHEE tt E J EEHEHE t HE HEHE tt 2 22 2 111 222 1 2 yy xxzz xyz EE EEEEE EEEE ttttttt E t 2 1 2 H tt H H 其中其中 同理同理 2 1 2 1 22 HEHE t EJ 整理得整理得 SVV SdHEdHE t dEJ 2 1 2 1 22 积分并应用散度定理积分并应用散度定理 热损耗热损耗 闭合面内电磁能的增加闭合面内电磁能的增加 穿入闭合面的能量穿入闭合面的能量 EH 单位时间内通过与它垂直的单位面积的功率单位时间内通过与它垂直的单位面积的功率 坡印廷矢量坡印廷矢量 HES 例 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量例 用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量 的过程 设同轴电缆内外导体的半径分别为的过程 设同轴电缆内外导体的半径分别为a a和和b b 内外导体 内外导体 之间的电压为之间的电压为U U 流过的电流为 流过的电流为I I arbrE brae abr U E r 0 ln crH crbe bc rc r I H brae r I H are a rI H 0 2 2 2 22 22 2 电场强度电场强度 磁场强度磁场强度 z e r I abr U HES 2 ln 坡印廷矢量坡印廷矢量 b aA UIrdr abr UI AdSP 2 ln2 2 单位时间内流入内外导体间的任一横截面单位时间内流入内外导体间的任一横截面A A的总能量为的总能量为 z e r I abr U HES 2 ln 二 设同轴电缆的内外导体为非理想导体 导体的电导率二 设同轴电缆的内外导体为非理想导体 导体的电导率 为为 有限值 内导体内部电磁场不再为零 电磁场分布如图所示 有限值 内导体内部电磁场不再为零 电磁场分布如图所示 z e a I J 2 zz e a I e J E 2 z e a I E 2 1 e a I H 2 1 ra r a 2 2 32 2 2 111rz e a I ee a I a I HES 坡印廷矢量坡印廷矢量 方向表明此部分能量不是沿导体传输到负载 而是进入到内方向表明此部分能量不是沿导体传输到负载 而是进入到内 导体中 导体中 RI a I adz a I AdSP A 1 0 2 2 2 32 2 1 2 2 进入单位长度内导体的功率为进入单位长度内导体的功率为 2 2 32 2 2 111rz e a I ee a I a I HES 由此可见 进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳由此可见 进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳 损耗功率 损耗功率 arb r e abr U E ln 2 e r I H 2 2 z e r I abr U HES 2 ln 222 这部分能流密度与理想导体的情况相同 这部分能流密度与理想导体的情况相同 21 SSS 当导体有电阻时 在同轴电缆中的能流密度矢量除了存在能量传当导体有电阻时 在同轴电缆中的能流密度矢量除了存在能量传 输方向的分量输方向的分量 还有进入导体内部的分量 还有进入导体内部的分量 以上分析表明电磁能量是通过内外导体之间的介质中的电磁场传以上分析表明电磁能量是通过内外导体之间的介质中的电磁场传 播的 而不是在导体内部传输的 导体起着引导电磁能流定向传播的 而不是在导体内部传输的 导体起着引导电磁能流定向传 输的作用 输的作用 正弦电磁场 正弦电磁场正弦电磁场的方向的方向与时间无关与时间无关 但其大小随时间的变化规律但其大小随时间的变化规律 为正弦函数为正弦函数 每一个分量都可以振幅每一个分量都可以振幅 频率频率 初相位表示成初相位表示成 cos zyxtzy