北师大版选修21 第二章 空间向量与立体几何 章末复习 学案.doc

章末复习学习目标1.梳理本章知识，构建知识网络.2.巩固空间向量的有关知识.3.会用向量法解决立体几何问题1空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb，kr线面平行laa0面面平行vkv，kr线线垂直lmabab0线面垂直laak，kr面面垂直vv0线线夹角l，m的夹角为，cos线面夹角l，的夹角为，sin面面夹角，的夹角为，cos2.用向量法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论关键点如下：(1)选择恰当的坐标系坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程(2)点的坐标，向量的坐标的确定将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标，直线的方向向量，平面的法向量，这是最核心的问题(3)几何问题与向量问题的转化平行，垂直，夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键1向量a，b的夹角a，b与它们所在直线所成的角相等()2两异面直线夹角的范围是，直线与平面夹角的范围是，平面间的夹角的范围是0，()3若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()类型一空间向量的概念及运算例1(1)给出下列命题：向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为()a2b3c4d1考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案b解析为假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；为真命题；为假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；为假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段(2)如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是边长为1的正方形，s到a，b，c，d的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0.其中正确结论的序号是_考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案解析可以推出：0，所以正确；又因为底面abcd是边长为1的正方形，sasbscsd2，所以22cosasb，22coscsd，而asbcsd，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义跟踪训练1如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，以顶点a为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求线段长解记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.(1)|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，cos，.类型二空间向量法证明平行与垂直例2已知在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别在db，d1c上，且ded1fa，其中a为正方体棱长求证：ef平面bb1c1c.考点向量法求解线面位置关系题点向量法求解线面平行证明如图，以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系dxyz，则e，f，故.又(0，a,0)为平面bb1c1c的一个法向量，而(0，a,0)0，即abef.又ef平面bb1c1c，因此ef平面bb1c1c.反思与感悟利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证)跟踪训练2如图所示，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.证明：平面pqc平面dcq.考点向量法求解平面与平面的位置关系题点向量法解决面面垂直证明如图所示，以d为坐标原点，da，dp，dc所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系dxyz.设da1，依题意有q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)，d(0,0,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)，0，0，即pqdq，pqdc，又dqdcd，dq，dc?平面dcq，故pq平面dcq，又pq?平面pqc，平面pqc平面dcq.类型三空间向量法求空间角例3如图，在正三棱柱abca1b1c1中，ab1bc1，p是aa1的中点(1)求平面pbc1将三棱柱分成的两部分的体积之比；(2)求平面pbc1与平面abc夹角的正切值考点题点解(1)以ab的中点o为坐标原点，ob，oc所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，设三棱柱的底面边长为a，高为b，则a，b，b1，c1，所以(a,0，b)，.因为ab1bc1，所以0.即b20，所以ab.又点b到平面acc1p的距离da，p是aa1的中点，所以aaa2b，则平面pbc1分三棱柱另一部分几何体的体积为va2ba2ba2b.所以平面pbc1将三棱柱分成两部分的体积之比为11.(2)由(1)知ab，令b2，则a2.所以b(，0,0)，c1(0，2)，p(，0,1)所以(2，0,1)，(，2)设平面pbc1的法向量为n1(x，y，z)则即令x1，得z2，y.所以n1(1，2)取平面abc的法向量为n2(0,0,1)所以cosn1，n2，所以sinn1，n2.所以tann1，n2.即平面pbc1与平面abc夹角的正切值为.反思与感悟利用坐标法求平面间的夹角的余弦值的步骤设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.(3)计算：求n1与n2所在直线所成的锐角，cos .跟踪训练3如图，在rtabc中，acb90，ac4，bc2，e，f分别在ac和ab上，且efcb.将它沿ef折起，且平面aef平面efbc，且四棱锥aefbc的体积为2.(1)求ef的长；(2)当ef的长度为1时，求直线ac与平面abf夹角的正弦值考点题点解(1)因为efcb，acb90，所以ceef，aeef.又平面aef平面efbc，平面aef平面efbcef，aeef，ae?平面aef，所以ae平面efbc.设efx，由于efbc，ac4，bc2，在图1中，所以，即ae2x.vaefbcs梯形efbcae(x2)(42x)2x，x(0,2)由题意得2，即x34x30，即(x1)(x2x3)0，所以x1或x，即ef1或ef.(2)以e为坐标原点，ef，ec，ea所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系exyz，因为ef1，则a(0,0,2)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，f(1,0,0)(0,2，2)，(2,2，2)，(1,0，2)设平面abf的法向量n(x，y，z)，由得令z1，则x2，y1，所以n(2，1,1)，设直线ac与平面abf的夹角为，则sin |cosn|.所以直线ac与平面abf夹角的正弦值为.1已知空间向量a，b，c两两夹角为60，其模都为1，则|ab2c|等于()a.b5c6d.考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案a解析|ab2c|2|a|2|b|24|c|22ab4ac4bc1212412211cos60411cos60411cos605，|ab2c|.2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a.b.c.d.考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案a解析不妨设cacc12cb2，则a(2,0,0)，b(0,0,1)，b1(0,2,1)，c1(0,2,0)，所以(2,2,1)，(0,2，1)，从而 cos，所以直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.3已知在三棱锥sabc中，底面abc为边长等于2的等边三角形，sa垂直于底面abc，sa3，那么直线ab与平面sbc夹角的正弦值为()a.b.c.d.考点题点答案d解析如图，以a为坐标原点，分别以ab，as所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系axyz，易知s(0,0,3)，b(2,0,0)，c(1，0)则(1，0)，(2,0,3)设平面sbc的法向量为n(x，y，z)，则得n(3，2)，又(2,0,0)，所以当为直线ab与平面sbc的夹角时，sin|cos，n|.4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，其中tr，则|ba|的最小值为_考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案解析ba(1t,2t1,0)，|ba|2(1t)2(2t1)2025t22t25，当t时，|ba|，|ba|min.5已知点b(1,0,0)，c(1,1,1)，d(0,1,1)，若点e的坐标为(2,1，m)，且点b，c，d，e四点共面，实数m的值为_考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案1解析b(1,0,0)，c(1,1,1)，d(0,1,1)，e(2,1，m)，(0,1,1)，(1,1,1)，(3,1，m)，根据平面向量的基本定理，存在实数x，y，使得xy，则有解得m1.解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题坐标方法经常与向量运算结合起来使用一、选择题1已知a(3，2，3)，b(1，x1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是()a(2，) b.c(，2) d.考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案b解析若两向量的夹角为钝角，则ab0，且a与b不共线，故3(1)(2)(x1)(3)10，且x，解得x2，且x，故选b.2下列说法正确的是()a零向量是有方向的向量b将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆c四点a，b，c，d构成平行四边形abcd的充要条件是d若与是相反向量，则a，b，c，d四点必在一条直线上考点题点答案a解析规定零向量的方向是任意的，故a正确；b中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故b错误；对于选项c，是必要条件，不是充分条件，因为当时，有可能a，b，c，d四点共线，故c错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上3在正方体abcda1b1c1d1中，底面abcd的对角线交于点o，且a，b，则等于()aabbabc.abd2(ab)考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案a解析ab.4在正方体abcda1b1c1d1中，点m是ab的中点，则sin，等于()a.b.c.d.考点空间向量数量积的应用题点利用数量积求角答案b解析如图所示，以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系dxyz.、设棱长为1，则d(0,0,0)，b1(1,1,1)，c(0,1,0)，m，(1,1,1)，.cos，sin，.5已知a3i2jk，bij2k，i，j，k是两两互相垂直的单位向量，则5a与3b的数量积等于()a15b5c3d1考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的线性运算答案a解析a(3,2，1)，b(1，1,2)，故5a(15,10，5)，3b(3，3,6)，5a3b15310(3)(5)645303015.6同时垂直于a(2,2,1)，b(4,5,3)的单位向量是()a.b.c.d.或考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的线性运算答案d解析设所求向量为c(x，y，z)，由ca0及cb0及|c|1，得检验知选d.7已知a(2,1,3)，b(3，4,2)，c(7，5)，若a，b，c共面，则实数等于()a.bc.d考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量在立体几何中的应用答案d解析依题意得ctab(2t3，t4，3t2)，所以解得故选d.二、填空题8已知平面与平面垂直，若平面与平面的法向量分别为(1,0,5)，v(t,5,1)，则t的值为_考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量答案5解析平面与平面垂直，平面的法向量与平面的法向量v垂直，v0，即1t05510，解得t5.9在平行六面体abcda1b1c1d1中，若a2b3c，则abc_.考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案解析由平行六面体abcda1b1c1d1，得，又已知a2b3c，可得a1,2b1,3c1，解得a1，b，c，所以abc.10已知空间四点a(0,3,5)，b(2,3,1)，c(4,1,5)，d(x,5,9)共面，则x_.考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案6解析a(0,3,5)，b(2,3,1)，c(4,1,5)，d(x,5,9)，(2,0，4)，(4，2,0)，(x,2,4)四点a，b，c，d共面，存在实数，使得，(x,2,4)(2,0，4)(4，2,0)，解得x6.11已知在矩形abcd中，ab1，bc，将矩形abcd沿对角线ac折起，使平面abc与平面acd垂直，则b与d之间的距离为_考点空间向量数量积的应用题点数量积的综合应用答案解析如图，过b，d分别向ac作垂线，垂足分别为m，n.可求得am，bm，cn，dn，mn1.，|2()2|2|2|22()21220，|.三、解答题12.如图所示，已知abcda1b1c1d1是平行六面体设m是底面abcd的中心，n是侧面bcc1b1对角线bc1上的一个四等分点(靠近点c1)，设，试求，的值考点空间向量的数乘运算题点空间向量共线定理及应用解()()()()，.13.如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为ab和bc的中点，试在棱b1b上找一点m，使得d1m平面efb1.考点向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面垂直解以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz, 则a(1,0,0)，b1(1,1,1)，c(0,1,0)，d1(0,0,1)，e，设m(1,1，m)连接ac，则(1,1,0)而e，f分别为ab，bc的中点，所以.又因为，(1,1，m1)，而d1m平面efb1，所以d1mef，且d1mb1e，即0，且0.所以解得m，满足0m1，即m为b1b的中点四、探究与拓展14正三角形abc与正三角形bcd所在的平面互相垂直，则直线cd与平面abd