第二圆周角和圆心角的关系.doc

3.3 圆周角和圆心角的关系3.4 确定圆的条件【知识要点】（一）圆周角 1. 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫圆周角。 如图，BAC 注意圆周角与圆心角的区别。 2. 圆周角的性质： 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论：（1）在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等。 （2）直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之，90的圆周角所对的弦是直径。 说明：（1）圆周角的性质定理和推论是圆中证明两角相等、两条线段相等、两条弦相等的重要依据，还能确定直径，在计算和作图中应用较广。 （2）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立，如果一条弦所对的圆周角有两种情况：相等或互补。 如图中，ACBADB ACBAEB180 ADBAEB180（二）圆的确定 1. 过一点的圆有无数个。 2. 过两点的圆有无数个。 3. 过不在同一直线上的三点确定一个圆。 4. 三角形的外接圆和圆的内接三角形。 5. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点。 它到三角形三个顶点的距离相等。 锐角三角形的外心在三角形内部。 直角三角形的外心是斜边中点。 钝角三角形的外心在三角形的外部。【典型例题】 例1. 例2. 如图，已知在O中，弦ABCD，连结AD、BC，OEBC于点E。 例3. 且DGAB于点G。 例4. 例5. 变式题： 如图（1），AB是半圆O的直径，过A、B两点作半圆O的弦，证明当两弦交点恰好在半圆O上C点时，则有ACACBCBCAB2（AC2BC2AB2） 一变：如图（2），若两弦交点在半圆O内，则APACBPBDAB2是否成立？请说明理由。二变：如图（3），若两弦AC、BD的延长线交于点P，则AB2_，参照一变填写相应结论，并证明。 例6. 分别交AD、AC于点E、F。 （2）当点P在什么位置时，AFEF？并证明你的结论。 例7. 如图，A、B、C表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置。【课后练习】3.3 圆周角和圆心角的关系同步练习一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在O上,D是上任一点(不与A、C重合),则ADC的度数是_.毛 (1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在O上,且ADBC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_对全等三角形;_对相似比不等于1的相似三角形.3.已知,如图3,BAC的邻角BAD=100,则BOC=_度.4.如图4,A、B、C为O上三点，若OAB=46,则ACB=_度. (4) (5) (6)5.如图5,AB是O的直径, ,A=25,则BOD的度数为_.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,CAB= 30 , 则点O 到CD 的距离OE=_.二、选择题:7.如图7,已知圆心角BOC=100,则圆周角BAC的度数是( ) A.50 B.100 C.130 D.200 (7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对9.如图9,D是的中点,则图中与ABD相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个10.如图10,AOB=100,则A+B等于( ) A.100 B.80 C.50 D.4011.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( ) A.30 B.30或150 C.60 D.60或12012.如图,A、B、C三点都在O上,点D是AB延长线上一点,AOC=140, CBD 的度数是( ) A.40 B.50 C.70 D.110三、解答题:13.如图,O的直径AB=8cm,CBD=30,求弦DC的长.14.如图,A、B、C、D四点都在O上,AD是O的直径,且AD=6cm,若ABC= CAD求弦AC的长. 15.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tanBPD的值.16. 如图，E是的中点，点A在O上，AE交BC于点D。 求证： 17. 如图，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC交AC于D，BC4cm。 （1）求证：ACOD。 （2）求OD的长。 （3）若，求O的直径。18. 如图，已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是的中点，四边形ABCD对角线AC、BD交于点E。（1）求证：ABEDBC；（2）已知，求sinAEB的值。 19. 根据如图所给的条件，求AOB的面积及圆的面积。 20. （多变题）如图（1），A、B、C三点在O上，AD是ABC的高，AE是O的直径。 求证： （一变）如图（2），AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径 若圆的半径为5，AD4，则ABAC_。（二变）如图（2），在O的内接ABC中，ADBC于D，且AD3，设O的半径为y，AB的长为x （1）用含x的代数式表示y； （2）当AB长为多少时，O的面积最大？并求出最大面积。3.4 确定圆的条件 同步练习一、填空题:1.锐角三角形的外心在_.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是_.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_.2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是_.3.ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_.4.三角形的外心是_的圆心,它是_的交点,它到_的距离相等.5.已知O的直径为2,则O的内接正三角形的边长为_.6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用_ 次就可以找到圆形工件的圆心. 二、选择题:7.下列条件,可以画出圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径; C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径8.三角形的外心是( ) A.三条中线的交点; B.三条边的中垂线的交点;C.三条高的交点; D.三条角平分线的交点9.下列命题不正确的是( ) A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个 C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( ) A.腰长 B.腰长的倍; C.底边的倍 D.腰上的高12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( ) A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个三、解答题:13.如图,已知:线段AB和一点C(点C不在直线AB上),求作:O,使它经过A、B、C三点。(要求:尺规作图,不写法,保留作图痕迹)14.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).15.如图,已知ABC的一个外角CAM=120,AD是CAM的平分线,且AD与ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E. (1)判断FBC的形状,并说明理由.(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.16.要将如图所示的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径?(写出找圆心和半径的步骤).17.已知:AB是O中长