北师大版选修21 空间向量的运算(二) 学案.docx

学习目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.知识点一空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点o，作a，b，则aob叫做向量a，b的夹角记法a，b范围a，b0，.当a，b时，ab知识点二空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abac(3)数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则abab0若a与b同向，则ab|a|b|；若反向，则ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|若为a，b的夹角，则cos|ab|a|b|题型一空间向量的数量积运算例1如图所示，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1，点e，f分别是ab，ad的中点，计算：(1)；(2)；(3)；(4).解(1)|cos，11cos60，所以；(2)|cos，11cos0，所以；(3)|cos，11cos120，所以；(4)()()()()()().反思与感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确.跟踪训练1已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为.答案13解析abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，abbcca13.题型二利用数量积求夹角例2如图，在空间四边形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，求oa与bc所成角的余弦值.解因为，所以|cos，|cos，84cos13586cos1201624.所以cos，.即oa与bc所成角的余弦值为.反思与感悟利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零.跟踪训练2如图所示，正四面体abcd的每条棱长都等于a，点m，n分别是ab，cd的中点，求证：mnab，mncd.证明()()()a2a2cos120a2cos60a2cos600，所以，即mnab.同理可证mncd.题型三利用数量积求距离例3正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)abca1b1c1的各棱长都为2，e、f分别是ab、a1c1的中点，求ef的长.解如图所示，设a，b，c.由题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.因为abc，所以ef2|22a2b2c22222222222cos6011415，所以ef.反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|求解即可.跟踪训练3如图，已知一个60的二面角的棱上有两点a，b，ac，bd分别是在这两个面内且垂直于ab的线段.又知ab4，ac6，bd8，求cd的长.解caab，bdab，120.，且0，0，|2()()|2|2|22|2|2|22|cos，624282268()68，|2，故cd的长为2.1.若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的()a.充分非必要条件b.必要非充分条件c.充要条件d.既非充分也非必要条件答案a解析ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，不能成立.2.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于()a.b.c.d.4答案a解析|a3b|2(a3b)2a26ab9b216cos6097.|a3b|.3.对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是()a.若ab0，则a0或b0b.若a0，则0或a0c.若a2b2，则ab或abd.若abac，则bc答案b解析对于a，可举反例：当ab时，ab0；对于c，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于d，abac可以移项整理得a(bc)0.4.设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()a.1b.2c.3d.5答案a解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左、右两边分别相减，得4ab4，ab1.5.若向量a，b满足：|a|1，(ab)a，(2ab)b，则|b|等于()a.2b.c.1d.答案b解析由题意知即将2得，2a2b20，b2|b|22a22|a|22，故