第四章 ,第一节 可测函数的定义及其简单性质.ppt

第一节可测函数及其性质 第四章可测函数 新的积分 Lebesgue积分 从分割值域入手 问题 怎样的函数可使Ei都有 长度 测度 1可测函数定义 例 1 零集上的任何函数都是可测函数 注 称外测度为0的集合为零集 零集的子集 有限并 可数并仍为零集 定义 设f x 是可测集E上的实函数 可取 若可测 则称f x 是E上的可测函数 Th1 可测函数的等价描述 证明 利用 1 与 4 2 与 3 互为余集 以及 定义 设f x 是可测集E上的实函数 则f x 在E上可测 对前面等式的说明 推论设f x 在E上可测 则E f a 总可测 不论a是有限实数或 证明 E f a E f a E f a 2 连续函数 对比 设f x 为 a b 上有限实函数 f x 在处连续 对闭区间端点则用左或右连续 设f x 为E上有限实函数 称f x 在处连续 注 一个函数在其定义域的每一个孤立点都是连续的 Th2可测集E上的连续函数定为可测函数 证明 任取x E f a 则f x a 由连续性假设知 则G为开集 当然为可测集 Th3 1 设f x 是可测集E上的可测函数 而E1为E上的可测子集 则f x 看作是定义在E1上的函数时 它是E1上的可测函数 2 设f x 定义在有限个可测集Ei i 1 2 s 的并集上 且f x 在每个Ei上都可测 则f x 在E上也可测 证明 E1 f a E1 E f a 3 简单函数是可测函数 可测函数 若 Ei可测且两两不交 f x 在每个Ei上取常值ci 则称f x 是E上的简单函数 R中的可测子集E上的单调函数f x 必为可测函数 由f单调增知下面的集合为可测集 证明 不妨设f单调增 对任意a R 2 可测函数的四则运算 引理设f x g x 是E上的可测函数 则E f g 和E f g 都是可测函数 证明 对任意的x0 E f g x0 E f r E g r 存在有理数r 使f x0 r g x0 所以 Th4若f x g x 是E上的可测函数 则下列函数 假定他们在E上有定义 皆在E上可测 f x g x f x 1 f x f x g x 关于cf x 当c 0时 显然可测 1 E f g a E f g a 现在对一般情形讨论 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭 推论 可测函数列的极限函数仍为可测函数 连续函数列的极限函数不一定为连续函数 若fn x 是E上的可测函数 则下列函数仍为E上的可测函数 对上式的说明 下确界 例1设 fn 是可测函数列 则它的收敛点全体和发散点全体是可测集 证明 发散点全体为收敛点全体为 再 函数的正部与负部 则f x f x 是定义在E上的非负函数 分别成为f x 的正部和负部 非负函数f x g x 是某个实函数的正部和负部的充要条件是E f 0 E g 0 Th5可测函数与简单函数之间的关系 若m E f g 0 则称f x g x 在E上几乎处处成立 记作f x g x a e 于E almosteverywhere 设 是一个与集合E的点有关的命题 如果存在