北师大版选修21 3.3全称命题与特称命题的否定 学案.docx

3.3全称命题与特称命题的否定学习目标1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出全称命题与特称命题的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识点一全称命题的否定全称命题p：任意xm，p(x)，它的否定綈p：存在x0m，綈p(x0).知识点二特称命题的否定特称命题p：存在x0m，p(x0)，它的否定綈p：任意xm，綈p(x).知识点三全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是特称命题.特称命题的否定是全称命题.思考(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？(2)对省略量词的命题怎样否定？答案(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.题型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)任意a，br，方程axb都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)是全称命题，其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)是全称命题，其否定：存在a，br，使方程axb的解不惟一或不存在.(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)每一个四边形的四个顶点共圆；(2)所有自然数的平方都是正数；(3)任何实数x都是方程5x120的根；(4)对任意实数x，x210.解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0120的根.(4)綈p：存在实数x0，使得x11，使x22x30；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.解(1) 綈p：任意x1，x22x30.(假).(2) 綈p：所有的素数都不是奇数.(假).(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).反思与感悟特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：存在x0m，p(x0)成立綈p：任意xm，綈p(x)成立.跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x0，y0z，使得x0y03.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“任意x，yz，xy3”.当x0，y3时，xy3，因此命题的否定是假命题.题型三特称命题、全称命题的综合应用例3已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xr恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围.解(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xr恒成立，只需m4即可.故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xr恒成立，此时，只需m4.(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所求实数m的取值范围是(4，).反思与感悟对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，af(x)恒成立，只要af(x)max；若存在一个实数x0，使af(x0)成立，只需af(x)min.跟踪训练3已知f(x)3ax26x1(ar).(1)当a3时，求证：对任意xr，都有f(x)0；(2)如果对任意xr，不等式f(x)4x恒成立，求实数a的取值范围.(1)证明当a3时，f(x)9x26x1，364(9)(1)0，对任意xr，都有f(x)0.(2)解f(x)4x恒成立，3ax22x10恒成立，即解得a，即实数a的取值范围是(，.1.命题p：“存在实数m，使方程x2mx10有实数根”，则“綈p”形式的命题是()a.存在实数m，使方程x2mx10无实数根b.不存在实数m，使方程x2mx10无实数根c.对任意的实数m，方程x2mx10无实数根d.至多有一个实数m，使方程x2mx10有实数根答案c解析命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2mx10无实数根.2.设xz，集合a是奇数集，集合b是偶数集.若命题p：任意xa,2xb，则()a.綈p：任意xa,2xbb.綈p：任意xa,2xbc.綈p：存在xa,2xbd.綈p：存在xa,2xb答案d解析命题p：任意xa,2xb是一个全称命题，其命题的否定綈p应为存在xa,2xb，选d.3.对下列命题的否定说法错误的是()a.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数b.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形c.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形d.p：存在nn,2n100；綈p：任意nn,2n100.答案c解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项c错误.4.命题“任意x0，)，x3x0”的否定是()a.任意x(，0)，x3x0b.任意x(，0)，x3x0c.存在x00，)，xx00d.存在x00，)，xx00答案c解析全称命题的否定是特称命题.全称命题：任意x0，)，x3x0的否定是特称命题：存在x00，)，xx00.5若“对任意x0，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_答案1解析0x，0tan x1，对任意x0，tan xm”是真命题，m1.实数m的最小值为1.1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全