北师大版选修22 3.2 导数在实际问题中的应用 第1课时实际问题中导数的意义 课件（44张）.ppt

导数应用 第三章 2导数在实际问题中的应用 第三章 第1课时实际问题中导数的意义 第三章 了解导数在实际问题中的意义 本节重点 会解释导数的实际意义 本节难点 利用导数的实际意义解题 并能解释 1 在日常生活和科学领域中 有许多需要用导数概念来理解的量 以中学物理为例 速度是 的导数 线密度是 的导数 功率是 的导数 2 经济学中 通常把生产成本y关于产量x的函数y f x 的导函数称为边际成本 边际成本f x0 指的是当产量为x0时 生产成本的增加速度 也就是当产量为x0时 每增加一个单位的产量 需要增加 个单位的成本 路程关于时间 质量关于长度 功关于时间 f x0 1 实际问题中导数的意义 在实际问题中 在x x0处的导数 往往反映在x x0时函数的瞬时变化率 在不同的环境中 f x0 所表示的含义不同 如在功与时间的关系中 w t0 表示在t t0时的功率 在降雨强度中 f t0 表示在t t0时的降雨强度 t0时刻的强度 在建筑业中 成本y与面积x之间的关系中 在x x0处的导数表示边际成本 在路程关于时间的函数中 s t0 表示在t t0时的瞬时速度 从上面的分析中可以看出 导数在日常生活中的应用非常广泛 这需要我们认真理解 领会导数在不同环境下的具体含义 2 实际问题中平均变化率的意义 在实际问题中的平均变化率 也具有一定的实际意义 x1到x2之间的平均变化率常用来反映在此段时间内y的平均水平 如在有关运动问题中的平均速度 平均加速度 在有关温度变化问题中的平均温度 在有关功与时间关系中的平均功率等 在解题时注意结合题意分析平均变化率的实际意义 3 要理解实际问题中导数的意义 首先要熟练掌握导数的定义 学习中要通过实际例子从不同的方面加深对导数定义的理解 另外 还要学会把 问题情境 译为数学语言 体会数学是从实践中来 又要应用到实践中去 体会数学的应用价值 提高学习数学的兴趣 坚定学好数学的信心 导数在物理中的意义 点评 在日常生活和科学领域中 有许多需要用导数概念来理解的量 例如中学物理中 速度是路程关于时间的导数 线密度是质量关于长度的导数 功率是功关于时间的导数等 一个电路中 流过的电荷量q 单位 c 关于时间t 单位 s 的函数为q t 3t2 lnt 1 求当t从1变到2时 电荷量q关于t的平均变化率 并解释它的实际意义 2 求q 2 并解释它的实际意义 分析 1 按平均变化率的公式计算平均变化率 2 电荷量对于时间的导数是电流 导数在生活中的应用 点评 函数f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢 由上述计算可知 c 98 25c 90 它表示纯净度为98 左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90 左右时净化费用变化率的25倍 这说明 水的纯净度越高 需要的净化费用就越多 而且净化费用增加的速度也越快 导数在经济学中的应用 解析 1 根据定义知 总利润函数为l x r x c x 5x 100 0 01x2 所以边际利润函数为l x 5 0 02x 2 当日产量分别为200kg 250kg 300kg时的边际利润分别为l 200 1 元 l 250 0 元 l 300 1 元 其经济意义是 当日产量为200kg时 再增加1kg 则总利润可增加1元 当日产量为250kg时 再增加1kg 则总利润无增加 当日产量为300kg时 再增加1kg 则总利润反而减少1元 由此可得到 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的零点时 反而会使企业 无利可图 点评 导数在经济学中的应用是边际分析和弹性分析 边际和弹性是经济学中两个重要的概念 用导数来研究经济变量的边际和弹性的方法 称之为边际分析和弹性分析 边际函数 在经济学中 把函数f x 的导函数f x 称为f x 的边际函数 在点x x0处的值f x0 称之为f x 在点x x0处的边际值 或变化率 变化速度等 一 选择题1 一次降雨过程中 降雨量y是时间t的函数 用y f t 表示 则f 10 表示 a t 10时的降雨强度b t 10时的降雨量c t 10时的时间d t 10时的温度 答案 a 解析 f t 表示t时刻的降雨强度 故选a 2 某人拉动一个物体前进 他所做的功w是时间t的函数w w t 则w t0 表示 a t t0时做的功b t t0时的速度c t t0时的位移d t t0时的功率 答案 d 解析 w t 表示t时刻的功率 答案 c 二 填空题4 火箭竖直向上发射 熄火时向上速度达到100m s 则熄火后 秒后火箭速度为零 g取10m s2 答案 10 三 解答题6 甲 乙二人跑步的路程与时间的关系及百米赛跑路程和时间的关系分别如图 试问 1 甲 乙二人哪一个跑得快 2 甲 乙二人百米赛跑 问快到终点时谁跑得较快 分析 用路程与时间的关系以及导数的几何