结构力学课( 包世华主编)第二版第二章 平面体系的几何构造分析b.ppt

1 第二章平面体系的几何构造分析 2 2 1几何构造分析的基本概念 一 几何构造分析的目的 1 判断某个体系是否为几何不变体系 因为只有几何不变体系才能作为结构使用 此外应根据几何不变体系的规律设计新结构 2 正确区分静定结构与超静定结构 二 基本概念 1 几何不变体系与几何可变体系 几何不变体系 若不考虑材料的应变 体系的位置和形状不会改变 3 几何可变体系 若不考虑材料的应变 体系的位置和形状是可以改变的 几何不变体系 常变体系 可以发生大位移的几何可变体系叫作常变体系 4 瞬变体系 本来几何可变 经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系 瞬变体系 几何可变体系不能作为结构来使用 5 1 从微小运动看是一个可变体系 具有自由度 2 经微小位移后成为不变体系 瞬变体系 从有多余约束来说 它具有超静定结构的性质 从静力学方面讲 在荷载作用下它的解是不唯一的 特别注意 瞬变体系是几何可变体系的特例 具有迷惑性 这尤其需要引起工程界的重视 瞬变体系具有三个特点 3 具有多余约束 是暂时的 6 即 对于几何不变体系而言 体系的内部和外部都具有足够的联系 约束 7 即 而对于几何可变体系而言 体系的内部和 或 外部缺少足够的联系 约束 8 2 刚片 由于不考虑材料的应变 可以把一根梁 一根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体 在几何构造分析中称为刚片 3 自由度 体系在平面内运动时 可以独立变化的几何参数的数目称为自由度 一般 n个独立的运动方式 n个自由度 1 一个结点在平面内有两个自由度 因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数x y 9 2 一个刚片在平面内有三个自由度 因为确定该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参数x y 4 约束 凡是能减少体系自由度的装置就称为约束 10 约束的种类分为 1 外部约束 支承条件 是指体系与基础之间的联系 也就是支座 一个滚轴支座 1个约束 一个铰支座 2个约束 一个固定支座 3个约束 一个定向支座 2个约束 11 1 链杆 2 内部约束 杆件之间的联系 是指体系内部各杆之间或结点之间的联系 如铰结点 刚结点和链杆等 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链杆 一根简单链杆能减少一个自由度 故一根简单链杆相当于一个约束 即 一根链杆 1个约束 复杂链杆 12 2 铰 简单铰 只与两个刚片连结的铰称为简单铰 一个简单铰能减少体系两个自由度 故相当于两个约束 即 一个单铰 2个约束 复杂铰 3 刚性连结 刚结点 看作一个刚片 即 一个刚结点 3个约束 13 4 瞬铰 虚铰 两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简单铰所起的约束作用 故两根链杆可以看作在交点处有一个瞬铰 虚铰 关于 点的情况需强调几点 每一个方向有一个 点 不同方向有不同 点 14 各 点都在同一直线上 此直线称为 线 各有限点都不在 线上 注意 连接两刚片的两链杆构成瞬铰 5 多余约束多余约束 如果在一个体系中增加一个约束 而体系的自由度并不因此而减少 则此约束称为多余约束 15 讨论 将一个点固定在刚片 基础 上 点A有两个自由度 只需两个约束就可以了 可用不共线的两根链杆 固定 若再增加一根链杆 三根链杆也只能减少两个自由度 所以有一根是多余的 问题是哪一根是多余的呢 请思考 16 2 2几何不变体系的组成规律 一 几何不变体系的组成规律 基本规律就是三角形规律 1 一个结点与一个刚片的连接 前提 平面体系的无多余约束的几何不变体系的组成规律 被约束对象 结点A 刚片I 提供的约束 两根链杆1 2 17 规律1 一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆相连 则组成几何不变体系且无多余约束 图示体系 结点A 刚片I由共线的链杆1 2相连 是瞬变体系 18 2 两个刚片之间的连接 规律2 两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连 则组成几何不变体系且无多余约束 被约束对象 刚片I II 提供的约束 铰A及链杆1 杆不过铰的中心 19 3 三个刚片之间的连接 规律3 三个刚片用三个铰两两相连 且三个铰不在同一直线上 则组成几何不变体系且无多余约束 被约束对象 刚片I II III 提供的约束 铰A B C 三铰不共线 20 下面看看几种特殊情况 我们知道 一根链杆相当于一个约束 一个铰相当于两个约束 一个铰可以用两根链杆代替 则有规律4 4 两个刚片之间用三根链杆连接 被约束对象 刚片I II提供的约束 链杆1 2 3 虚铰A 规律4 两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连 则组成几何不变体系且无多余约束 21 讨论1 当两刚片用三根链杆联结时 有六种情况发生 但是什么情况下才能组成几何不变体系呢 分析下面各种情况 都可归结为规律4 三根链杆中有两根杆形成一个实铰 且第三根杆不通过该铰中心 图a a 几何不变体系 22 三根链杆中有两根杆形成一个虚铰 且第三根杆不通过该虚铰中心 图b 见规律4 23 三根链杆相交于一点 形成一个实铰 图c 三根链杆的延长线相交于一点 形成一个虚铰 图d 24 三根链杆平行且等长 形成一个无穷远虚铰 图e 三根链杆平行不等长 图f 25 因此 对规律2和规律4 我们也可以统一叙述为 两个刚片用一铰 实铰或虚铰 和一根不通过该铰的中心的链杆连结 则组成几何不变体系且无多余约束 特别说明 平行两杆在无穷远处形成 虚铰 讨论2 看规律3 三个刚片用三个不共线的铰两两相连 组成无多余约束的几何不变体系 看以下几种情况 即 26 当三个铰共线时 则为几何瞬变体系 图a 当3个铰用6根链杆代替时的情况 6根链杆两两形成实铰 三铰不共线 为无多余约束的几何不变体系 图b 27 6根链杆两两形成虚铰 三铰不共线 为无多余约束的几何不变体系 图c 28 6根链杆形成一个实铰和无穷远处的两个虚铰 三铰不共线 则体系几何不变 且无多余约束 图d 29 e 几何瞬变 6根链杆形成一个实铰和一个虚铰 而这两个铰的连线与另外两根链杆平行 则体系几何瞬变 图e 30 6根链杆形成三个无穷远铰 数学上可证明三铰共线 故体系几何瞬变 图f f 几何瞬变 31 刚片I II 用铰A连接 刚片I III 用铰B连接 刚片II III 用铰C连接 看几种混合情况 三铰 不同的铰 不共线 体系几何不变 图g 32 一个瞬铰C在无穷远处 铰A B连线与形成瞬铰的链杆1 2不平行 故三个铰不在同一直线上 该体系几何不变且无多余约束 图h 33 瞬铰B C在两个不同方向的无穷远处 它们对应于无穷线上两个不同的点 铰A位于有限点 由于有限点不在无穷线上 故三铰不共线 体系为几何不变且无多余约束 图i 34 形成瞬铰B C的四根链杆相互平行 不等长 故铰B C在同一无穷远点 所以三个铰A B C位于同一直线上 故体系为瞬变体系 图j 由此可知 规律3还可叙述如下 三个刚片用不共线的三个铰 实铰或虚铰 两两相连 组成无多余约束的几何不变体系 35 二 基本组成规律的应用有两个方面 1 利用基本组成规律构成几何不变体系 2 对已给的体系进行几何组成分析 在此 主要介绍第二方面的内容 解题思路 基础看作一个大刚片 要区分被约束的对象及提供的约束 在被约束对象之间找约束 除复杂链杆和复杂铰外 约束不能重复使用 36 例2 2 1试分析图a 所示体系的几何构造 解 1 被约束对象 刚片I II及结点D 37 刚片I II用链杆1 2 3相连 符合规律4 组成大刚片 大刚片 结点D用链杆4 5相连 符合规律1 故体系为几何不变且无多余约束 解 2 被约束对象 刚片I II III及结点D 见图 b 38 刚片I II用链杆1 2相连 瞬铰o 刚片I III用铰B相连 刚片II III用铰A相连 铰A B o不共线 符合规律3 组成大刚片 大刚片与结点D用链杆3 4相连 符合规律1 故体系几何不变且无多余约束 39 例2 2 2试分析图示体系的几何构造 刚片I II用链杆1 2 3 约束 相连 符合规律4 故该体系几何不变且无多余约束 解 被约束对象 刚片I II 基础 注意 约束代换 直杆1 3代替折杆 40 例2 2 3试分析图示体系的几何构造 A B C三铰均在无穷远处 位于同一无穷线上 故为瞬变体系 解 刚片I 用链杆1 2相连 瞬铰A 刚片I 用链杆3 4相连 瞬铰B 刚片 用链杆5 6相连 瞬铰C 41 例2 2 4试分析图示体系的几何构造 因为A B C三铰不在同一直线上 符合规律3 故该体系几何不变且无多余约束 解 刚片I 用链杆1 2相连 瞬铰A 刚片I 用链杆3 4相连 瞬铰B 刚片 用链杆5 6相连 瞬铰C 42 小结 1 要正确选定被约束对象 刚片或结点 以及所提供的约束 2 要在被约束对象 刚片或结点 之间找约束 除复杂链杆和复杂铰外 约束不能重复使用 3 注意约束的等效替换 特别说明 当体系与基础的连接不符合两刚片连接规律时 应从体系内部寻找构造单元 进行分析 43 复杂形状 曲线 折线等 链杆可用直链杆代替 关于 二元体 见规律1 体系中若局部有不共线的两根链杆将一铰结点联于主体 则此局部称为 二元体 44 分析体系时 可以先排除 二元体 然后分析主体部分的几何构造 若主体部分几何不变 则整个体系几何不变 如 45 思考题 试分析下图示各体系的几何构造组成 特例1 特例2 46 内部可变度问题 47 48 2 3平面体系的计算自由度 一 复杂链杆与复杂铰 1 简单链杆与复杂链杆简单链杆 仅连接两个结点的链杆称为简单链杆 一根简单链杆相当于一个约束 复杂链杆 连接三个或三个以上结点的链杆称为复杂链杆 一根复杂链杆相当于 2n 3 根简单链杆 其中n为一根链杆连接的结点数 49 2 简单铰与复杂铰 简单铰 只与两个刚片连接的铰称为简单铰 一个简单铰能减少体系两个自由度 故相当于两个约束 铰约束 50 复杂铰 连接三个或三个以上刚片的铰称为复杂铰 若刚片数为m 则该复杂铰相当与 m 1 个简单铰 故其提供的约束数为2 m 1 复铰约束 2 3 1 4 51 3 刚性连结 看作一个刚片 单刚结点 复刚结点 一个联结n个刚片的复刚结点 n 1个单刚结点 3 n 1 约束 4 封闭刚架 52 二 计算自由度 1 刚片体系将体系看作刚片 铰 刚结以及链杆组成的体系 其中刚片为被约束对象 铰 刚结 链杆为约束 则计算自由度公式为 m 刚片数 无多余约束 g 简单刚结点数 h 简单铰数 b 简单链杆数 含支座链杆数 53 特别注意 当具有复约束 复铰 复刚结点 时应折算成单约束 在求解时 地基的自由度为零 不计入刚片数 2 链杆体系 铰结体系 将体系看作结点以及链杆组成的体系 其中结点为被约束对象 链杆为约束 则计算自由度公式为 j 结点数 b 简单链杆数 包含复链杆折算的单链杆数 54 3 混合公式约束对象为刚片和结点 约束为铰 刚结和链杆 则计算自由度公式为 式中 m j g h b意义同前 55 4 计算自由度W的意义1 若体系的 一定是几何可变体系 2 若 则体系可能是几何不变的 也可能是几何可变的 取决于具体的几何组成 所以是体系几何不变的必要条件 而非充分条件 即 体系若几何不变 必有 但是 体系不一定几何不变 3 若 则体系具有保证其几何不变的最少约束数 此时体系若有多余约束 则体系几何可变 56 例2 3 1试求图示体系的计算自由度 解 三 举例 也可以如下计算 A点当作铰结点 A点不当作铰结点 57 例2 3 2求图示体系的计算自由度 解 58 例2 3 3求图示体系的计算自由度 解 含复铰折算为单铰 59 例2 3 4求图示体系的计算自由度 解 用混合公式计算 60 例2 3 5求图示体系的计算自由度 解 用混合公式计算 被约束对象 刚片 2个 铰 4个 61 部分习题解答 2 1 2 4分析体系的几何构造 题2 1 b 刚片 与基础通过结点1处的一个铰和结点2处的一个不通过这个铰的支座链杆相连 形成扩展的基础 刚片 和扩展的基础通过交于一点的三根链杆 3 4 5 相连 不满足几何不变体系的条件 结论 该体系为一个几何瞬变体系 62 题2 3 b 撤除二元体 8 9 寻找内部刚片 刚片 由杆件 10 11 7 1 14 2 12 构成 刚片 由杆件 4 5 13 6 15 构成 刚片 由1处的一个铰和一个不通过这个铰的链杆 3 相连 符合规律2 结论 该体系内部几何不变 且无多余约束 63 题2 3 d 刚片 由杆件 1 4 5 6 7 构成 刚片 由以下杆件构成 2 3 8 9 10 11 12 刚片III为基础 刚片 III通过1 2 3处的三个铰相联 三铰共线 不满足几何不变体系的条件规律3 结论 该体系为一几何瞬变体系 64 题2 4 b 刚片 由杆 5 6 7 构成 刚片 由杆 3 4 8 构成 刚片 如图示 刚片 由不在一条直线上的三个铰 1处的一个铰 杆 1 和杆 9 形成的虚铰2 杆 2 和杆 10 形成的虚铰3 相连 符合规律3 结论 该体系内部不变 且无多余约束 65 题2 4 e 刚片 由杆件 1 4 5 6 7 构成 与基础连接符合规律2 按规律2再与 8 杆连接形成大刚片 大刚片 与刚片 由杆件 3 10 11 12 13 构成 通过交于同一点的三根链杆 杆 2 9 及4处的支座链杆 相连 不符合规律2 结论 该体系为一几何瞬变体系 66 2 6分析所示体系的几何构造 题2 6 b 刚片 由铰4和一根不通过该铰的支座链杆5相联 符合规律2 结论 该体系为无多余约束的几何不变体系 刚片 与基础之间由共线上的三个铰 1 2 3 两两相连 符合规律3 形成大刚片 求计算自由度 按刚片体系 67 题2 6 c 折杆1 2和折杆4 5可用直杆 1 2 代替 刚片 与基础之间由交于同一点的三根链杆 1 2 及链杆3 相连 不符合规律2 结论 该体系为一几何瞬变体系 求计算自由度 按刚片体系 68 刚片 由杆件 1 2 3 4 5 组成 刚片 由杆件 6 7 8 9 10 组成 把基础做为刚片 按三刚片规则进行分析 刚片 刚片 和刚片 之间由不在一条直线上的三个铰 实铰1 杆 11 13 形成的一个虚铰2 杆 12 14 形成的一个虚铰3 相连 可合并为一个大刚片 结论 为无多余约束的几何不变体系 求计算自由度 解法一 按刚片体系 2 7 b 分析所示体系的几何构造 69 刚片数m 10 单刚结数g 0 单铰结数h 13 结点4 5处各二个单铰 结点1处三个单铰 链杆数b 4 杆