北师大版选修21 3.1.1.2 椭圆及其标准方程习题课 作业.docx

第2课时椭圆及其标准方程习题课1.已知abc的两个顶点的坐标a(-4,0),b(4,0),abc的周长为18,则顶点c的轨迹方程为()a.x225+y29=1b.y225+x29=1(y0)c.x216+y29=1(y0)d.x225+y29=1(y0)解析:顶点c到两个定点a,b的距离和为18-8=108,由椭圆的定义可得轨迹方程,但要注意abc成立的条件.答案:d2.已知椭圆的焦点是f1,f2,p是椭圆上的一个动点,如果延长f1p到q,使得|pq|=|pf2|,那么动点q的轨迹是()a.圆b.椭圆c.抛物线d.无法确定解析:由题意得|pf1|+|pf2|=2a(a为大于零的常数,且2a|f1f2|),|pq|=|pf2|,|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a,即|f1q|=2a.动点q到定点f1的距离等于定长2a,故动点q的轨迹是圆.答案:a3.已知f1(-1,0),f2(1,0)是椭圆的两个焦点,过f1的直线l交椭圆于m,n两点,若mf2n的周长为8,则椭圆的标准方程为()a.x24+y23=1b.y24+x23=1c.x216+y215=1d.y216+x215=1解析:根据椭圆定义可得mf2n的周长为4a=8,得a=2,b2=4-1=3,且焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为x24+y23=1,故选a.答案:a4.已知两椭圆ax2+y2=8与9x2+25y2=100的焦距相等,则a的值为()a.9或917b.34或32c.9或34d.917或32解析:由9x2+25y2=100,得c=83.由ax2+y2=8,得x28a+y28=1,当a1时,8-8a=649,解得a=9.当0a1时,8a-8=649,解得a=917.答案:a5.点p在椭圆x24+y23=1上运动,q,r分别在圆(x+1)2+y2=1和(x-1)2+y2=1上运动,则|pq|+|pr|的取值范围是()a.0,6b.2,6c.0,8d.4,8解析:椭圆的焦点坐标是f1(-1,0),f2(1,0),则两个已知圆的圆心即椭圆的焦点,因此|pq|+|pr|的最大值是|pf1|+|pf2|+2=4+2=6,最小值是|pf1|+|pf2|-2=4-2=2.故选b.答案:b6.设f1,f2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,p为椭圆上任一点,点m的坐标为(6,4),则|pm|+|pf1|的最大值是()a.5b.10c.15d.20解析:|pf1|+|pf2|=10,|pf1|=10-|pf2|,|pm|+|pf1|=10+|pm|-|pf2|.由题意,点m在椭圆外,连接mf2,并延长交椭圆于点p,此时|pm|-|pf2|取最大值|mf2|,故|pm|+|pf1|的最大值为10+|mf2|=10+(6-3)2+42=15,故选c.答案:c7.如图所示,f1,f2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点,点p在椭圆上,pof2是面积为3的正三角形,则b2等于.解析:充分利用正三角形的边、角性质,spof2=12|op|of2|sin 60=3,得到c2=4,c=2,所以p(1,3),把p点坐标代入椭圆方程求得b2=23.答案:238.椭圆x212+y23=1的一个焦点为f1,点p在椭圆上.如果线段pf1的中点m在y轴上,那么点m的纵坐标是.解析:(方法一)不妨设f1(-3,0),p(x0,y0),则-3+x02=0,x0=3.点p在椭圆上,x0212+y023=1,解得y0=32,故点m的纵坐标是34.(方法二)设椭圆的另一个焦点为f2,连接pf2,点m,o分别是pf1,f1f2的中点,om12pf2,pf2x轴.由x212+y23=1,得c=3.f2(3,0).设p(3,y0),则m0,y02.点p在椭圆上,912+y023=1,解得y0=32,点m的纵坐标是34.答案:349.椭圆的两焦点为f1(-4,0),f2(4,0),点p在椭圆上,若pf1f2的面积最大为12,则椭圆的标准方程为.解析:当pf1f2面积最大时,spf1f2=128b=12,b=3,又c=4,a2=b2+c2=25,椭圆的标准方程为x225+y29=1.答案:x225+y29=110.如图所示,设p是圆x2+y2=25上的动点,点d是p在x轴上的投影,m为pd上一点,且|md|=45|pd|.当点p在圆上运动时,求点m的轨迹c的方程.解设点m的坐标是(x,y),点p的坐标是(xp,yp),因为点d是点p在x轴上的投影,m为pd上一点,且|md|=45|pd|,所以xp=x,且yp=54y.因为点p在圆x2+y2=25上,所以x2+54y2=25,整理,得x225+y216=1,即点m的轨迹c的方程是x225+y216=1.11.如图,已知p是椭圆x24+y2=1上的一点,f1,f2是椭圆的两个焦点.(1)当f1pf2=60时,求f1pf2的面积;(2)当f1pf2为钝角时,求点p横坐标的取值范围.解(1)由椭圆的定义,得|pf1|+|pf2|=4,f1(-3,0),f2(3,0).在f1pf2中,由余弦定理,得|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 60.由得|pf1|pf2|=43.所以spf1f2=12|pf1|pf2|sinf1pf2=33.(2)设点p(x,y),由已知f1pf2为钝角,得pf1pf20,即(-3-x,-y)(3-x,-y)0,又y2=1-x24,所以34x22,解得-263