任意角的三角函数教学设计蔡飞.doc

任意角的三角函数教学设计 扬中市第二高级中学 蔡飞一 教材分析:三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数的基础上，学习三角函数及其基本性质，这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。任意角三角函数这个概念是全章的一个承前启后的核心内容。在上一节中，角由“锐角”推广到“任意角”，从而，将锐角三角函数推广到任意角的三角函数便显得顺理成章和势在必行。教学中，如果简单的从复习锐角三角函数出发，直接推广到任意角三角函数，虽然有利于学生从自己已有认知基础出发学习三角函数。但对学生理解数学是不利的，容易让学生认为：数学只是数学家做的一些规定。为此，教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，特别设计了摩天轮的情境，以数学实际应用为线索，完成任意角的三角函数概念的建构过程。通过这个概念学习，体会数学模型的思想，数形结合思想，了解数学新概念引入的必要性、合理性、严谨性，并进一步增进对数学的理解。二教学目标：（1）知识和技能目标：了解任意角三角函数定义产生的背景和应用；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；加深对函数一般概念的理解。（2）过程与方法：通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜想的能力，体会函数模型思想，数形结合思想。培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。（3）情感、态度、价值观：在数学定义的建构过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性。感悟数学的本质，培养追求真理的精神。三教学重点、难点：教学重点：理解任意角的三角函数的定义。教学难点：任意角的三角函数的建构；从函数的角度理解三角函数。四教学过程（一） 创设情境 教师：日出日落，寒来暑往，四季交替，自然界中存在许多按一定规律周而复始的现象，称之为周期现象。那么，用怎样的数学模型来刻画周期现象呢？周期现象一般与周期运动有关，一个简单而基本的例子便是“圆周上一点的旋转运动”。请看下面的实例。设计意图：从学生已有的周期变化的日常生活经验出发引出周期现象，进而直奔主题。问题情境：摩天轮的中心距离地面的高度为，它的直径为，逆时针方向匀速旋转，每秒中旋转1度，若现在你坐在座舱中，从初始位置点出发（如图1所示），求相对地面的高度与时间（秒）的函数关系式。教师：让我们想象一下整个运动过程，高度是怎样变化的？师生：开始高度先渐渐增高至最高点，再渐渐降低至最低点，然后在渐渐增高，最后回到初始位置；第二周，第三周，周而复始，呈现周期现象。设计意图：以实际问题为背景，引入任意角的三角函数的定义，体现三角函数的周期性。教师：应该用怎样的函数模型来刻画呢？不妨，我们先从几个简单特殊的情形入手。假如，时间过了20秒后，你离地面的高度是多少？学生：教师：人距离地面的高度，其中是不变量，表示点到水平位置的距离，是随着的大小而改变的，可以利用初中所学的锐角三角函数来计算。教师：进一步，再计算几个。师生：过了50秒，过了70秒，。教师：一般地，过了秒呢？我们猜想：。教师：这样猜想，这样合情，但合理吗？师生：随着摩天轮的转动，角度也超出了锐角的范围，推广到了任意角，那对任意角，该如何定义呢？设计意图：一方面培养学生由特殊到一般的合情推理的能力，另一方面，让学生了解数学新概念引入的必要性、合理性、严谨性，并进一步增进对数学的理解。（2） 探究、合作、交流：当时间为秒时，猜想，形式简洁，与比较，要想两者统一，必须有：，即。师生小结：如图3，点在圆周上转动时，随之变化，任一个，对应着唯一点，进而有唯一的，得到。教师：不过这样表述，在说明时，还是不够简洁明了。教师：何时取正值，何时取负值？根据这些特点，用怎样的一个量来代替，可以使上面的表述更简洁？它的绝对值与长度相等，符号在一、二象限是正的，在三、四象限却是负的。至此，直角坐标系的引入水到渠成！学生：引入直角坐标系，用点的纵坐标来代替或。设计意图：这样安排是想让学生感受到任意角三角函数定义中“坐标系的引入”，“坐标比值法的规定”有必要、有好处，顺乎自然。教师：在上述求解过程中，有一个极为重要的问题就是：任意一个角的正弦怎么定义呢？（三）建构数学：师生：这首先要借助于直角坐标系，把角“放在”直角坐标系内，接下来，要以原点为圆心，半径为作圆，与角的终边相交于点，得点的坐标，那么,其中0.教师：能这样定义吗？思考1： 当是锐角时，此规定与初中定义是否吻合？结论：是吻合的。而且坐标法的引入摆脱了锐角的束缚。设计意图：想让学生理解初高中对于三角函数的定义是和谐和统一的，任意角的三角函数是初中对于锐角三角函数的推广。思考2：比值会随着在角终边上选择的点不同而发生吗？结论：根据相似三角形的知识，对于确实的角，这个比值不会随点在的终边上的位置的改变而改变，是唯一确定的。思考3：联系已学过的知识，类比正弦函数的定义，你能给出任意角余弦、正切的定义吗？设计意图：培养学生类比推理的能力如图4，设是一个任意角，它的终边与半径为的圆交于点，那么的正弦值等于，记作；的余弦值等于，记作；的正切值等于，记作；其中0思考4；角的正弦，余弦，正切是函数吗？如果是，请说出自变量和应变量，如果不是请说明理由。引导学生从一般函数概念的角度来理解正弦、余弦和正切函数。对应法则-怎样由自变量的值找到函数值。对于每个确定的角，放入直角坐标系后，都有唯一的终边与之对应，终边与单位圆都有唯一确定的交点，所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函数值的函数，我们将他们统称为三角函数。思考5：在弧度之下三角函数的定义域分别是什么？考查三角函数的定义域。可以看出，当时，的终边在轴上，这时点的横坐标，则无意义。除此之外，对于确定的角，正弦、余弦、正切函数都有意义。又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成自变量为实数的函数。（四）巩固新知、深化理解：例1 已知角的终边经过点P(2，3)，求的正弦、余弦、正切值。变式训练：已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切值。例2.填表a030456090120135150180270360弧度设计意图：根据学生的特点和教学的具体情况，对教材例题和习题进行必要的增补、优化和整合，以达到通过演练加深对定义的理解和主干知识的把握的目的。（五）归纳总结 注重渗透（