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二次函数解析式求法例举上海市松江区立达中学 庄士忠 201600二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。求二次函数解析式的常用方法： （1）一般式：； （2）顶点式：，其中点（m,h）为该二次函数的顶点； （3）交点式：，其中点为该二次函数与x轴的交点。 例1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示。求抛物线的解析式，写出顶点坐标。图1 分析：由图象可知，抛物线经过A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三点，因此，可以借助二次函数一般式求出其解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标。 解：设所求抛物线的解析式为（）。由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）。 解之，得 抛物线的解析式为 该抛物线的顶点坐标为。 点评：这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息。已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式。要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围。 例2. 如图2，有一横截面是抛物线的水渠，水渠管理员将一根长1.5m的标杆一端放在水渠底部的A点，另一端露出水面并靠在水渠边缘的B点，标杆有1m浸没在水中，露出水面的部分与水面成的夹角（标杆与抛物线的横截面在同一平面内）。以水面所在直线为x轴，过点A垂直于水面的直线为y轴，建立如图2所示的直角坐标系，求该水渠横截面抛物线的解析式（结果保留根号）。图2 分析：要求解析式，必须知道抛物线上交点的坐标。显然，由已知条件可以求出点A与点B的坐标。由于点A是所在抛物线的顶点，因此可以用抛物线的顶点式。 解：设AB与x轴交于点C，可知。 过点B作轴于点D 设所求水渠横截面抛物线的解析式为。 将点B的坐标代入，有。解之，得。 因此，该水渠横截面抛物线的解析式为。 点评：解答此类问题的关键在于将实际问题的条件转化成点的坐标，再根据点的特征选择适当的函数表达式。 例3. 一条抛物线经过点与。求这条抛物线的解析式。 分析：解析式中的a值已经知道，只需求出的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线，这样又可以从抛物线的顶点式入手。 解：抛物线经过点（）和， 这条抛物线的对称轴是直线。 设所求抛物线的解析式为。 将点代入，得，解得。 这条抛物线的解析式为，即。 点评：当点M（）和N（）都是抛物线上的点时，若，则对称轴方程为，这一点很重要也很有用。 例4. 如图3，在直角坐标系中，以点A为圆心，以为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E。若抛物线经过B，C两点，求抛物线的解析式，并判断点D是否在抛物线上。图3 分析：解题的关键在于求出点B和点C的坐标，因此需要求出线段OB，OC的长，这可根据圆的性质解决。由于点B与点C都在x轴上，因而可以根据二次函数的交点式求出其解析式。 解：由，易得 在， 。所以点D的坐标为（0，-3）。 设解析式为，由条件知， 抛物线的解析式为 即 当时，所以点D（0，-3）在抛物线上。 点评：解这类题将点的坐标与线段的长互相转化至关重要，但要注意坐标的符号。 练习: 1. 二次函数的图象经过点M（1，-2），N（-1，6）。