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第8章 分离变数法1. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。 解：可分为三种情况讨论：1) ，解为，由边界条件只能得到平庸解，显然没有意义。 -(3分) 2) ，解为，代入边界条件得，于是为任意常数。 -(2分) 3) ，解为,代入边界条件得a) 当 的取值使得 时，必有 ，这和上两种情况一样没有意义。b)当 的取值使得 时， 不必为零，这种是有意义的情况。此时由 得到本征值: 综合2）和3）两种情况得本征值此时，本征解为 -(5分)1. 2.已知复变量函数为解析函数，其实部满足下面的条件，(1) 试给出所满足的数学物理定解问题；(2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解；(3) 根据求出虚部。3.设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。(本小题 11 分) 解：(1) 由题意，对于常微分方程： (1) (2)现在先求解，对三种情况进行讨论： a) ，由(1)式的解是 积分常数，由(2)决定，即 ， 由此得出， 而。无实际意义，即无可能性。（3分） b) ，式(1)的解是 则根据(2)式，有 ， 即为任意数此时。（3分） c) ，由(1)解是 则由(2)式，有 ， 由此有 且 或者 和因， 时，无实际意义。因此，只能有 和 由同时我们可以得到的表达式： (3) （4分）对应的本征函数为： （1分）4. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。5. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值。解：可分为三种情况讨论：4) ，微分方程解为，由得，由得，得，得到平庸解，显然没有意义。 -(3分) 5) ，解为，代入边界条件得，也得到平庸解，没有意义。 -(2分)6) ，解为,代入边界条件得a) 当 的取值使得 时，必有 ，这和上两种情况一样没有意义。b) 当 的
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