北师大版选修11 第二章 2.2　抛物线的简单性质 学案.docx

2.2抛物线的简单性质第1课时抛物线的简单性质学习目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一抛物线的简单性质思考类比椭圆的简单性质，结合图像，你能说出抛物线y22px(p0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？答案范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)梳理标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yrx0，yrxr，y0xr，y0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点a，b，线段ab叫抛物线的通径，长度|ab|2p知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y22px(p0)|ab|x1x2py22px(p0)|ab|p(x1x2)x22py(p0)|ab|y1y2px22py(p0)|ab|p(y1y2)1抛物线有一个顶点，一个焦点，一条对称轴，一条准线，一条通径()2当抛物线的顶点在坐标原点时，其方程是标准方程()3抛物线的离心率均为1，所以抛物线形状都相同()4焦准距p决定抛物线的张口大小，即决定抛物线的形状()类型一抛物线简单性质的应用例1已知抛物线的焦点f在x轴上，直线l过f且垂直于x轴，l与抛物线交于a，b两点，o为坐标原点，若oab的面积等于4，求此抛物线的标准方程考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点f.直线l：x，所以a，b两点的坐标分别为，所以|ab|2|m|.因为oab的面积为4，所以2|m|4，所以m2.所以抛物线的标准方程为y24x.引申探究等腰直角三角形aob内接于抛物线y22px(p0)，o为抛物线的顶点，oaob，则aob的面积是_答案4p2解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接aob为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线ab与抛物线的对称轴垂直，从而直线oa与x轴的夹角为45.由方程组得或所以易得a，b两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p)所以|ab|4p，所以saob4p2p4p2.反思与感悟把握三个要点确定抛物线简单性质(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点p到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解设抛物线的方程为y22ax(a0)，点p(x0，y0)因为点p到对称轴的距离为6，所以y06.因为点p到准线的距离为10，所以10.因为点p在抛物线上，所以362ax0，由，得或或或所以所求抛物线的方程为y24x或y236x.类型二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y26x的焦点f，且与抛物线相交于a，b两点若直线l的倾斜角为60，求|ab|的值考点抛物线的焦点弦问题题点求抛物线的焦点弦长解因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又f，所以直线l的方程为y.联立消去y，得x25x0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x25，所以|ab|af|bf|x1x2x1x2p538.引申探究1若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“直线l垂直于x轴”，求|ab|的值解直线l的方程为x，联立解得或所以|ab|3(3)6.2若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“|ab|9”，求线段ab的中点m到准线的距离解设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由抛物线的定义知|ab|af|bf|x1x2px1x23，所以x1x26，于是线段ab的中点m的横坐标是3.又准线方程是x，所以点m到准线的距离为3.反思与感悟1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解2设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论跟踪训练2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于a，b两点，且|ab|p，求ab所在直线的方程考点抛物线的焦点弦问题题点知抛物线焦点弦长求方程解由题意可知，焦点f.设a(x1，y1)，b(x2，y2)若abx轴，则|ab|2pp，不合题意，故直线ab的斜率存在，设为k，则直线ab的方程为yk.联立消去x，整理得ky22pykp20，则y1y2，y1y2p2.|ab| 2pp，解得k2，ab所在直线方程为y2或y2.类型三与抛物线有关的最值问题例3设p是抛物线y24x上的一个动点，f为抛物线的焦点(1)求点p到点a(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值；(2)若点b的坐标为(3,2)，求|pb|pf|的最小值考点抛物线的定义题点由抛物线的定义求最值解(1)如图，易知抛物线的焦点为f(1,0)，准线方程是x1.由抛物线的定义知，点p到直线x1的距离等于点p到焦点f的距离于是问题转化为在曲线上求一点p，使点p到点a(1,1)的距离与点p到f(1,0)的距离之和最小显然，连接af，af与抛物线的交点即为点p，故最小值为，即点p到点a(1,1)的距离与点p到直线x1的距离之和的最小值为.(2)如图，把点b的横坐标代入y24x中，得y2.因为22，所以点b在抛物线内部过点b作bq垂直于准线，垂足为点q，交抛物线于点p1，连接p1f.此时，由抛物线的定义知，|p1q|p1f|.所以|pb|pf|p1b|p1q|bq|314，即|pb|pf|的最小值为4.反思与感悟抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等跟踪训练3已知点p是抛物线y22x上的一个动点，则点p到点a(0,2)的距离与点p到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()a. b2c. d.考点抛物线的定义题点由抛物线的定义求最值答案a解析如图，由抛物线的定义知|pa|pq|pa|pf|，则所求距离之和的最小值转化为求|pa|pf|的最小值，则当a，p，f三点共线时，|pa|pf|取得最小值又a(0,2)，f，(|pa|pf|)min|af| .1以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()ay28x by28xcy28x或y28x dx28y或x28y考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案c解析设抛物线的方程为y22px或y22px(p0)，由题意将x或x分别代入y22px和y22px，得|y|p，2|y|2p8，p4.即抛物线方程为y28x.2设抛物线y28x上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是()a4 b6 c8 d12考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案b解析由抛物线的定义可知，点p到抛物线焦点的距离是426.3已知抛物线yax2的准线方程是y2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为()a1 b2 c3 d4考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案b解析由题意知抛物线顶点到准线的距离最短，故最小值为2.4过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为_考点抛物线的焦点弦问题题点求抛物线的焦点弦长答案16解析由y28x得焦点坐标为(2,0)，由此直线方程为yx2，由联立得x212x40，设交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，由方程知x1x212，弦长|ab|x1x2p12416.5已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px(p0)上，求这个正三角形的边长考点抛物线的简单性质题点抛物线性质的综合应用解如图oab为正三角形，设|ab|a，则oda，将a代入y22px，即2pa，解得a4p.正三角形的边长为4p.1讨论抛物线的简单性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用简单性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用一、选择题1设ab为过抛物线y28x的焦点的弦，则|ab|的最小值为()a2 b4 c8 d无法确定答案c解析当ab垂直于对称轴时，|ab|取最小值，此时ab为抛物线的通径，长度等于2p，|ab|的最小值为8.2若抛物线y2x上一点p到准线的距离等于它到顶点的距离，则点p的坐标为()a. b.c. d.考点抛物线的定义题点由抛物线的定义求点坐标答案b解析由题意知，点p到焦点f的距离等于它到顶点o的距离，因此点p在线段of的垂直平分线上，而f，所以点p的横坐标为，代入抛物线方程得y，故点p的坐标为，故选b.3已知抛物线y2px2(p0)的焦点为f，点p在抛物线上，过点p作pq垂直于抛物线的准线，垂足为点q，若抛物线的准线与对称轴相交于点m，则四边形pqmf的面积为()a. b.c. d.考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案c解析由p在抛物线上，得p，故抛物线的标准方程为x24y，焦点为f(0,1)，准线为y1，|fm|2，|pq|1，|mq|1，则四边形pqmf的面积为1.4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点p到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()a2 b3c. d.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求最值答案a解析如图所示，动点p到l2：x1的距离可转化为pf的距离，由图可知，距离和的最小值即f到直线l1的距离d2.5已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y24x50相切，则p的值为()a2 b1c. d.考点抛物线的简单性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案a解析曲线的标准方程为(x2)2y29，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x，由抛物线的准线与圆相切得23，解得p2.6过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于p，q两点，若线段pq中点的横坐标为3，|pq|10，则抛物线方程是()ay28x by22xcy26x dy24x考点抛物线的焦点弦问题题点知抛物线焦点弦长求方程答案a解析设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则3，即x1x26.又|pq|x1x2p10，即p4，抛物线方程为y28x.7经过抛物线y22px (p0)的焦点作一直线交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则的值是()a4 b4 cp2 dp2考点抛物线的焦点弦问题题点与焦点弦有关的其他问题答案b解析采用特例法，当直线与x轴垂直时，易得a，b，4.8设f为抛物线c：y23x的焦点，过f且倾斜角为30的直线交c于a，b两点，o为坐标原点，则oab的面积为()a. b.c. d.考点抛物线的焦点弦问题题点抛物线焦点弦的其他问题答案d解析由已知得焦点坐标为f，因此直线ab的方程为y.即4x4y30.联立直线和抛物线方程，并化简得x2x0，故xaxb.根据抛物线的定义有|ab|xaxbp12，同时原点到直线ab的距离为h，因此soab|ab|h.二、填空题9抛物线y24x的焦点为f，过f的直线交抛物线于a，b两点，|af|3，则|bf|_.考点抛物线的焦点弦问题题点与焦点弦有关的其他问题答案解析由题意知f(1,0)，且ab与x轴不垂直，则由|af|3，知xa2.设lab：yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以xaxb1，故xb，故|bf|xb1.10已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，则这条抛物线的方程为_考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案y23x解析由题意设抛物线方程为y2ax(a0)，当a0时，弦的端点坐标为(1，)，代入抛物线方程得y23x，同理，当a0)，a(x0，y0)，由题知m.|af|3，y03.|am|，x217，x8，代入方程x2py0，得82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.13已知抛物线c：y22px(p0)，其准线为l，过m(1,0)且斜率为的直线与l相交于a点，与c的一个交点为b，若，求抛物线方程考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解由题意知，准线l：x，过m(1,0)且斜率为的直线方程为y(x1)，联立解得点a的坐标为.又，m是ab的中点，b点坐标为，将b代入y22px(p0)，得322p，解得p2或p6(舍去)，抛物线方程为y24x.四、探究与拓展14.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线l交抛物线于a，b两点，交其准线于点c，若|bc|2|bf|且|af|3，则此抛物线的方程为()ay23x by29xcy2x dy2x考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案a解析作am，bn分别垂直准线于点m，n，则|bn|bf|，|am|af|.又|bc|2|bf|，|bc|2|bn|，ncb30，|ac|2|am|2|af|6.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，|bf|x，则2x