北师大版选修21 4.1 曲线与方程(二) 学案.docx

4.1曲线与方程(二)学习目标1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法.知识点一坐标法和解析几何借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法.用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.知识点二解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质.知识点三求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点m的坐标；(2)写出适合条件p的点m的集合pm|p(m)；(3)用坐标表示条件p(m)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.思考(1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？(2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？答案(1)可以省略.如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明.另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程.(2)不一样.若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.题型一直接法求曲线方程例1动点m与距离为2a的两个定点a，b的连线的斜率之积等于，求动点m的轨迹方程.解如图，以直线ab为x轴，线段ab的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则a(a,0)，b(a,0).设m(x，y)为轨迹上任意一点，则kma，kmb(xa).kmakmb，化简得：x22y2a2(xa).点m的轨迹方程为x22y2a2(xa).反思与感悟直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件m|p(m)直接翻译成x，y的形式f(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少.跟踪训练1已知在直角三角形abc中，角c为直角，点a(1,0)，点b(1,0)，求满足条件的点c的轨迹方程.解如图，设c(x，y)，则(x1，y)，(x1，y).c为直角，即0.(x1)(x1)y20.化简得x2y21.a、b、c三点要构成三角形，a、b、c三点不共线，y0.点c的轨迹方程为x2y21(y0).题型二定义法求曲线方程例2已知圆c：(x1)2y21，过原点o作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.解如图，设oq为过o点的一条弦，p(x，y)为其中点，则cpoq，设m为oc的中点，则m的坐标为(，0).opc90，动点p在以点m(，0)为圆心，oc为直径的圆上，由圆的方程得(x)2y2(0x1).反思与感悟如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.跟踪训练2已知定长为6的线段，其端点a、b分别在x轴、y轴上移动，线段ab的中点为m，求点m的轨迹方程.解作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|om|ab|3.所以m的轨迹是以原点o为圆心，以3为半径的圆，故点m的轨迹方程为x2y29.题型三代入法求曲线方程例3已知动点m在曲线x2y21上移动，点m和定点b(3，0)连线的中点为p，求点p的轨迹方程.解设p(x，y)，m(x0，y0)，p为mb的中点，即又m在曲线x2y21上，(2x3)24y21.p点的轨迹方程为(2x3)24y21.反思与感悟代入法求轨迹方程就是利用所求动点p(x，y)与相关动点q(x0，y0)坐标间的关系式，且q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点p的坐标(x，y)表示相关动点q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得动点p的轨迹方程.跟踪训练3已知abc的两顶点a，b的坐标分别为a(0，0)，b(6,0)，顶点c在曲线yx23上运动，求abc重心的轨迹方程.解设g(x，y)为abc的重心，顶点c的坐标为(x，y)，则由重心坐标公式，得所以因为顶点c(x，y)在曲线yx23上，所以3y(3x6)23，整理，得y3(x2)21.故点m的轨迹方程为y3(x2)21.求曲线方程忽略限制条件致错例4直线l：yk(x5)(k0)与圆o：x2y216相交于a，b两点，o为圆心，当k变化时，求弦ab的中点m的轨迹方程.错解设m(x，y)，易知直线恒过定点p(5,0)，再由ommp，得|op|2|om|2|mp|2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.错解分析错解中未注意到点m应在圆内，故所求的轨迹应为圆内的部分，此时应考虑0x.正解设m(x，y)，易知直线恒过定点p(5,0)，再由ommp，得|op|2|om|2|mp|2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.点m应在圆内，所求的轨迹为圆内的部分.解方程组得两曲线交点的横坐标为x，故点m的轨迹方程为(x)2y2(0x0)c.yd.y(0x2)答案d解析设m(x，y)，由|mo|2得，x2y24，又点m在第四象限，y(0x2).5.设a为圆(x1)2y21上的动点，pa是圆的切线，且|pa|1，则动点p的轨迹方程是_.答案(x1)2y22解析圆(x1)2y21的圆心为b(1,0)，半径r1，则|pb|2|pa|2r2.|pb|22.动点p的轨迹方程为：(x1)2y22.1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.2.一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x，y)等.3.方程化简到什么程度，课本上没有给出