小学奥数图形的面积.doc

直线型面积计算（1）对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；夹在一组平行线之间的等积变形，如；反之，如果，则可知直线平行于【例 1】 如图，长方形的面积是平方厘米，点、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用连接、，同理，（平方厘米）铺垫你有多少种方法将任意一个三角形分成：个面积相等的三角形；个面积相等的三角形；个面积相等的三角形分析 如右图，、分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了个面积相等的三角形；如右图，、是的三等分点，、分别是对应线段的中点；答案不唯一；如下图，答案不唯一，以下仅供参考【例 2】 如图，三角形的面积为，其中，三角形的面积是多少？【分析】 连接， 又，【例 3】 如图，三角形中，三角形的面积是平方厘米，三角形 的面积是多少？【分析】 ，,;又,（平方厘米）铺垫如图，三角形被分成了甲、乙两部分，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？分析 连接,，,又,拓展如图，在三角形中，厘米，厘米，、分别为和的中点，那么三角形的面积是多少平方厘米？分析 是的中点,，同理，（平方厘米）【例 4】 如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积【分析】 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）连接、，同理可得其它，最后三角形的面积拓展如图，四边形的面积是平方米，求四边形的面积分析 连接.设，, 又,， 同理， 连接，同理， （平方米）拓展如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？分析 连接对角线 是长方形 ， ，拓展如图，长方形中，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积分析 连接，因为，所以因为，所以，所以因为，所以长方形的面积是平方厘米【例 5】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，并且甲、乙、丙个三角形面积相等已知梯形的面积是平方厘米求图中阴影部分的面积【分析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底所以到的距离与到的距离相等，即与平行，四边形是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形的面积的，所以阴影部分的面积乙的面积从而阴影部分的面积（平方厘米）拓展如图，在平行四边形中，求阴影面积与空白面积的比分析 因为，所以，因为，所以，所以，同理可得，因为，所以空白部分的面积，所以阴影部分的面积是，所以阴影面积与空白面积的比是【例 6】 如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等【分析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接（我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起）在平行四边形中，边上的高，（也就是等积变换的重要依据的特殊情况）同理，平行四边形与面积相等拓展如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？分析 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接.（我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起）在正方形中，边上的高，（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，正方形与长方形面积相等. 长方形的宽（厘米）【例 7】 如图，正方形和正方形，且正方形边长为厘米，求图中三角形的面积为多少平方厘米？【分析】 连接，都是正方形的对角线，与同底等高，(平方厘米) 【例 8】 （年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积【分析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系连接（见右上图），可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于拓展（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形和四边形都是正方形，已知三角形的面积为平方厘米，求三角形的面积分析 通常求三角形的面积，都是先求它的底和高题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求 直接找三角形与三角形的关系还很难，而且也没有利用“四边形和四边形是正方形”这一条件我们不妨将它们都补上梯形这一块寻找新得到大三角形和大直角梯形之间的关系经过验算，可以知道它们的面积是相等的从而得到三角形与三角形面积相等，也是平方厘米【例 9】 如右图，在平行四边形中，直线交于，交延长线于，若，求 的面积分析 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接，同理，又， ，即【例10】 （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，是的长方形，是的长方形，求三角形与三角形的面积之差【分析】 直接求出三角形与三角形的面积之差，不太容易做到如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了法：连结（见右图）三角形与三角形都加上三角形，则原来的问题转化为求三角形与三角形的面积之差所求为法：连结（见右图）三角形与三角形都加上三角形，则原来的问题转化为求三角形与三角形的面积之差所求为法：延长交于（见右图）三角形与三角形都加上梯形，则原来的问题转化为求三角形与矩形的面积之差所求为法：延长，交于（见右图）三角形与三角形都加上梯形，则原来的问题转化为求矩形与直角三角形的面积之差所求为【例11】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是，那么图中阴影部分的面积是多少？【分析】 三角形的面积三角形的面积长方形面积阴影部分面积；又因为三角形的面积三角形的面积长方形面积，所以可得：阴影部分面积1 如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积【分析】 是的中点，是的中点，又是长方形， (平方厘米)2 如图，三角形中，是的倍，是的倍，如果三角形的面积等于，那么三角形的面积是多少？【分析】 连接. .又，.3 两个正方形组成右图所示的组合图形已知组合图形的周长是厘米，厘米，求阴影部分的面积【分析】 组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为部分重合了用组合图形的周长减去，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（厘米）又由两个正方形的边长之差是厘米，可求出大正方形边长（厘米），小正方形边长（厘米）阴影部分面积（平方厘米）4 在右图中，平行四边形的边长厘米，直角三角形的直角边长厘米已知阴影部分的总面积比三角形的面积大平方厘米，求平行四边形的面积分析 因为阴影部分比三角形的面积大平方厘米，都加上梯形后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行比直角三角形的面积大平方厘米，所以平行四边形的面积等于平方厘米5 右图中，厘米，三角形比三角形的面积大平方厘米，求的长【分析】 连结三角形的面积为平方厘米，厘米 直线型面积计算（2）在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：；的对应份数为梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果模型三：相似三角形性质： ；所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形【例 9】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形的面积；？ 【分析】 根据蝴蝶定理，那么；根据蝴蝶定理，【例 10】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形的，对角线，交于，已知与的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形的面积是_平方厘米 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，可得，再根据梯形蝴蝶定理，所以(平方厘米)那么梯形的面积为(平方厘米)铺垫梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比 分析 根据梯形蝴蝶定理，可以求出，再根据梯形蝴蝶定理，通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论【例 11】 四边形的对角线与交于点(如图所示)如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍 【分析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题解法一：，解法二：作于，于，【例 12】 在边长为1的正方形中，求四边形的面积 【分析】 题目要求四边形的面积，可以发现这个四边形是个“不良四边形”，需要对它进行改造通常在一个四边形中画辅助线，会想到画对角线，又注意到、都是三等分点，如果连接，因为，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解因为，所以根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形四部分面积比为；而等腰梯形的面积为：，所以，得【例 13】 如图，正方形面积为1，是边上的中点求图中阴影部分的面积【分析】 因为是边上的中点，所以，可得，由于，根据梯形蝴蝶定理可以知道，所以阴影部分面积占梯形面积的，所以【例 14】 如图，在长方形中，求阴影部分的面积【分析】 如图，连接，将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形的面积为由于，根据梯形蝴蝶定理，所以，而，所以，阴影部分的面积为相似三角形性质【例 7】 在图中的正方形中，分别是所在边的中点，的面积是面积的几倍？ 【分析】 连接，易知，根据相似三角形性质，可知，且，所以的面积等于的面积；由可得，所以，即的面积是面积的3倍【例 8】 如图，线段与垂直，已知，那么图中阴影部分面积是多少？【分析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看作辅助线，则图形关于对称，有，且 设的面积为2份，则的面积为3份，直角三角形的面积为8份因为，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为解法二：连接、由于，所以，根据相似三角形性质，可知，根据梯形蝴蝶定理，所以，即；又，所以【例 9】 右图中正方形的面积为1， 、分别为、的中点，求阴影部分的面积【分析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积 可以作垂直于，垂直于根据相似三角形性质，又因为，所以，即，所以【例10】 如图，长方形中，为的中点，与、分别交于、，垂直于，交于，已知，求 【分析】 由于，利用相似三角形性质可以得到，又因为为中点，那么有，所以，利用相似三角形性质可以得到，而，所以【例11】 是平行四边形，面积为72平方厘米，、分别为、的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘米 【分析】 注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质设、分别为、的中点，连接、可得，对角线被、平均分成四段，又，所以，所以 (平方厘米)，(平方厘米)同理可得平方厘米，平方厘米所以 (平方厘米)，于是，阴影部分的面积为(