相似三角形说题.ppt

一道课本习题的拓展探究 小题不小 规律来找 一习题来源 如图 AB AC于点B CD BD于点D P是BD上一点 且AP PC AP PC 则 ABP PDC 请说明理由 浙教版八年级 数学 上册 2 7直角三角形全等的判定课后作业题第2题 第47页 已知条件 1 一组边相等 AP PC 2 三个角相等 ABP APC PDC 90 A 1 90 1 2 90 2 C 90 1 2 A 2 C 1 结论 ABP PDC 从学生熟悉而又简单的问题出发 通过不断演变 逐渐深入研究 不仅有利于消除学生学习的畏难情绪 让学生积极 主动地投入到数学学习中 而且有利于帮助学生全面系统复习已掌握的数学知识 思想和方法 有利于提高学生综合应用解决问题的能力 基本图形的构造与应用 条件 结论的互逆变换 基本图形的变化拓展 结论的延伸与拓展 条件的弱化 二问题演变 如图 AB AC于点B CD BD于点D P是BD上一点 且AP PC AP PC 则 ABP PDC 请说明理由 一 结论的延伸与拓展 观察图形猜想AB BD CD之间的关系 并证明你的猜想 例1 09四川成都 已知A D是一段圆弧上的两点 且在直线L的同侧 分别过这两点作L的垂线 垂足为B C E是BC上一动点 连结AD AE DE 且 AED 90 1 如图 如果AB 6 BC 16 且BE CE 1 3 求AD的长 2 如图 若点E恰为这段圆弧的圆心 则线段AB BC CD之间有怎样的等量关系 请写出你的结论并予以证明 再探究 当A D分别在直线两侧且AB CD 而其余条件不变时 线段AB BC CD之间又有怎样的等量关系 请直接写出结论 不必证明 1 经历观察猜想到验证的解决问题方法 培养学生探究能力与解决问题的能力 2 让题设条件与图形 动 起来 克服思维定势和图形位置定势 使学生习惯于 开放 与 探究 的思维 E 例2 如图 在笔直的公路L的同侧有A B两个村庄 已知A B丙村分别到公路的距离AC 3km BD 4km 现要在公路上建一个汽车站P 使该车站到A B两村的距离相等 1 试用直尺和圆规在图中作出点P 2 若连接AP BP 测得 APB 90 求A村到车站的距离 C D A B L P 添加应用背景 一 结论的延伸与拓展 渗透数形结合思想 培养应用数学知识解决问题的能力 二 条件和结论的互逆变换 例3 06山东德州 两个全等的含30 60 角的三角板DEA和三角板ACB如图所示放置 E A C三点在一条直线上 连结BD 取的BD中点M 连结EM EC 试判断的 CME形状 并说明理由 培养思维的灵活性 如图 AB AC于点B CD BD于点D P是BD上一点 且AP PC AP PC 则 ABP PDC 请说明理由 三 弱化条件 弱化条件 线段相等 则结论由三角形的全等弱化为三角形相似 演变命题1 当一个命题成立的条件较为丰富时 可考虑减少其中一两个条件 或将其中一两个条件一般化 并确定相应的命题结论 从而加工概括成新的命题以求拓展应用 例4 07山东 如图 已知平面直角坐标系xOy中 点A m 6 B n 1 为两动点 其中0 m 3 连结OA OB 1 求证 mn 6 2 当S AOB 10时 抛物线经过A B两点且以y轴为对称轴 求抛物线对应的二次函数的关系式 3 在 2 的条件下 设直线AB交y轴于点F 过点F作直线l交抛物线于P Q两点 问是否存在直线l 使 若存在 求出直线l对应的函数关系式 若不存在 请说明理由 C D 1 添加直角坐标系 与函数结合 是一道代数与几何的综合题 又是一道解决动态的问题 考查相似三角形 图形与坐标 函数等知识 2 培养学生综合分析问题能力 处理实际问题能力和应变能力 如图 ABC和 CDE中 点D在边BC的延长线上 AC CE ACE B D 则 ABC CDE 弱化条件 直角 则 全等三角形 结论仍然成立 演变命题2 90 五 弱化条件 例5 ABC为等边三角形 点D E F分别在边BC CA AB上 且 DEF也为等边三角形 1 在图中找到除等边三角形边长相等的线段 证明你的结论 2 你所证明相等的线段 可以通过怎样的变换相互得到 写出变换过程 如图 ABC和 CDE中 点D在边BC的延长线上 AC CE ACE B D 则 ABC CDE 三 弱化条件 同时弱化条件 线段相等 直角 则结论由三角形的全等弱化为三角形相似 演变命题3 90 例7 如图 在梯形ABCD中 AD BC AB DC AD 6 ABC 60 点E F分别在线段AD DC上 点E与点A D不重合 且 BEF 120 设AE x DF y 1 求y与x的函数解析式 2 当x为何值时 y有最大值 最大值是多少 充分运用数形结合和建立函数模型求最值问题 ACE B D 90 ABP PDC AP CP B APC D ABP PDC ACE B D AP CP B APC D 90 ABP PDC ABP PDC 无论如何变换 本质是三个角相等 应用三角形相似 全等 来解决 四 图形的变化拓展 从图形运动中找出规律 转化为一般的几何证明问题 探究解决新问题的策略 例4 06江西 某课外学习小组在一次学习研讨中 得到了如下两个命题 1 如图 1 在等边 ABC中 M N分别是AC AB上的点 BM与CN相交于点O 若 BON 60 则BM CN 2 如图 2 在正方形ABCD中 M N分别是CD AD上的点 BM与CN相交与点O BON 90 则BM CN 3 如图 3 在正五边行ABCDE中 M N分别是CD DE上的点 BM与CN相交于点O 若 BON 108 则BM CN 任务要求1 请你从1 2 3三个命题中选择一个进行证明 2 请你继续完成下面的探索 试在图 3 中画出一条与CD相等的线段DH 使点H在正五边行的边上 且与CN相交所成的角是108 这样的线段有几条 如图 4 在正五边行ABCDE中 M N分别是DE EA上的点 BM与CN相交于点O 若 BON 108 请问结论BM CN是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 试说明 五 基本图形的构造 几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成 其图形也是由若干个基本图形组合而成 因而 学生不仅要具备必需的图形的分解能力 同时 还应具备必需的辅助线构造基本图形的技能 五 基本图形的构造 例7 如图21 MON 90 MON的内部有一个正方形AOCD 点A C分别在射线OM ON上 点B在ON上的任意一点 在 MON的内部作正方形AB1C1D1 连接DD1 求证 ADD1 90 连接CC1 猜一猜 C1CN的度数 并证明你的结论 ON上任取一点B2 以AB2为边 在 MON的内部作出正方形AB2C2D2 观察图形 并结合 1 2 的结论 请你再作出一个合理的判断 D 添加辅助线构造基本图形来解决问题的能力 H I 具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华 教学不