张书涵_符号三角形问题.doc

关于符号三角形数与n的关系的研究与实现云南师范大学 计算机应用技术 张书涵1 问题描述在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。例如图1：由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。+ + - + - + + - - - - +- + + + - + + - + - -+ 图1 符号三角形本文就是计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同，并且探讨两种符号数相同的不同符号三角形的个数与n的关系。2 问题分析用n元组x1:n表示符号三角形的第一行。Xi=1表示第一行第i个符号为“+”， Xi=0表示第一行第i个符号为“-”。可行性约束函数为，当前符号三角形所包含的“+”个数与“-”个数均不超过n*(n+1)/4 。容易看出，第1行n个符号的数值不同，将直接导致符号三角形的数值F(n)不同。显然，符号三角形的个数F(n)是随着n的变化而变化。那么，得知F(n)与n必然存在一种关系。其次，一个符号三角形有n(n+1)/2个符号，显然这个公式的分子n，n+1中必有一个为偶数。记G(n)为一个符号三角形所包含的符号数，假定n为偶数。则上述的公式可改写成：。而且n/2必须再次为偶数，不然就不满足条件：符号三角形的符号数G(n)所含的“+”和“”的个数相同。所以，n必然是4的倍数，即n=4k，其中k=1，2，3，。根据上面的论述，易知当公式的分子n，n+1中有且只有一个为4的倍数，此探讨才有意义，并且研究的条件再次收缩。3 问题解决 用穷举法列出n和符号数以及符号三角形数F（n）的映射表，如表1所示。n符号总数符号三角形个数F（n）110230364410651506210728128364094501055011661711278410表1 n和符号数以及符号三角形数F（n）的映射表根据穷举的结果我们也可以看出，当n=4i或n=4i-1（i=1,2,3,4）时存在符号三角形，当n=4i-2或4i-3时不存在符号三角数。4 运行结果 5 总结通过上述的分析，基本上理解了回溯算法。当n=4i或n=4i-1（i=1,2,3,4）时存在符号三角形，当n=4i-2或4i-3时不存在符号三角数。但是运用现有的技术很难得到F(n)关于n的精确表达式。所以，这个问题还有待进一步研究。附录：程序代码：#includeiostream using namespace std; typedef unsigned char uchar; char cc2=+,-; /便于输出 int n, /第一行符号总数 half, /全部符号总数一半 counter; /1计数，即“-”号计数 uchar *p; /符号存储空间 long sum; /符合条件的三角形计数 /t，第一行第t个符号 void Backtrace(int t) int i, j; if( t n ) /符号填充完毕 sum+; /打印符号 cout 第 sum 个:n; for(i=1; i=n; +i) for(j=1; ji; +j) cout ; for(j=1; j=n-i+1; +j) cout cc pij ; cout n; else for(i=0; i2; +i) p1t = i; /第一行第t个符号 counter += i; /“-”号统计 for(j=2; j=2时，可以运算出下面行的某些符号 pjt-j+1 = pj-1t-j+1pj-1t-j+2;/通过异或运算下行符号 counter += pjt-j+1; if( (counter = half) & ( t*(t+1)/2 - counter = half) ) /若符号统计未超过半数，并且另一种符号也未超过半数 Backtrace(t+1); /在第一行增加下一个符号 /回溯，判断另一种符号情况 for(j=2; j=t; +j) counter -= pjt-j+1; counter -= i; int main() cout n; counter = 0; sum = 0; half = n*(n+1)/2; int i=0; if( half%2 = 0 ) /总数须为偶数，若为奇数则无解 half /= 2; p = new uchar *n+1; for(i=0; i=n; +i) pi = new ucharn+1; memset(pi, 0, sizeo