苏教版选修44 参数方程的意义 学案2.doc

4.4 参数方程4.4.1 参数方程的意义自主整理1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线c上任意一点p的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数.反过来，对于t的每个允许值，由函数式x=f(t),所确定的点p(x,y)都在曲线c上，那么方程叫做曲线c的_，其中的变量t是_，简称_答案:参数方程 参变数 参数2中心在原点的椭圆的参数方程为_,中心在c(x0,y0)的椭圆的参数方程为_（其中a，b0，ab，是参数）参数的几何意义是椭圆的_，并非旋转角.答案: 离心角高手笔记1通过对生活中实际例子的研究，发现有些问题要建立直角坐标系，直接找出x和y的关系并不容易，甚至不太可能因此，建立参数方程显得非常必要2参数方程也是表达曲线坐标关系的一种方式，简单地说，参数方程就是用参数表示横坐标x和纵坐标y的关系式，其一般式为（t为参数）也可以把它当成一个方程组它使坐标之间的关系更加明显，并且有些参数还有一定的几何意义（例如圆、椭圆、直线的参数方程），适当利用这些几何意义可以简化运算，使运算更简洁名师解惑1研究曲线的参数方程具有什么实际意义？剖析：在日常生活和工农业生产中，常涉及到曲线的参数方程，如物理学中物体的平抛运动规律，要知道所抛出的物体在下落的过程中各时刻所处的位置，显然与抛出的时间有着密切的关系；再如发射出去的炮弹，我们常常想知道所发出去的炮弹所在的位置，同样与发射出去的时间有着紧密的联系，显然像以上两种情形自然会去考虑以时间作为参数建立相应的方程，以便准确地把握所想掌握的信息此时用参数方程来描述运动规律，常常比用普通方程更为直接简便有些重要但较复杂的曲线，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解由此可见，曲线的参数方程是从实际生活中抽象出来的，并非人们的凭空想象，人们通过对曲线参数方程的研究，从而更好地利用它来为人类造福，指导工农业生产2曲线的参数方程具有什么特点？剖析：曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点.反过来,对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值在具体问题中，如果要求相应曲线的参数方程，首先就要注意参数的选取一般来说，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x、y的相互关系比较明显，容易列出方程参数的选取应根据具体条件来考虑可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少讲练互动【例题1】设飞机以匀速v150 m/s作水平飞行，若在飞行高度h588 m处投弹（假设炸弹的初速度等于飞机的速度），（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标？思路分析：这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹（看作质点）的水平方向和竖直方向的运动表示出来解：(1)如图所示，a为投弹点，坐标为（0，588），b为目标，坐标为（x0，0）记炸弹飞行的时间为t，在a点t设m(x,y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得即这是炸弹飞行曲线的参数方程（）炸弹飞行到地面目标b处的时间t0满足方程y，即5884.9t2，解得t0由此得x0=150=1 643（m）,即飞机在离目标1 643 m（水平距离）处投弹才能击中目标绿色通道 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题解决变式训练1.已知弹道曲线的参数方程为(g=9.8m/s2).(1)求炮弹从发射到落地所需的时间;(2)求炮弹在运动中达到的最大高度.解：（）令y=2tsin-gt2=0，即4.9t2-t=0解得t或t0.2所以炮弹从发射到落地所需时间约为0.2秒（）由y=t-4.9t2,得y=-4.9(t2-t)=-4.9(t-)2+.所以当t=时，y取最大值0.05所以炮弹在运动中达到的最大高度为0.05米2曲线与x轴交点的坐标是（ ）a.(1,4) b.(,0) c.(1,-3) d.(,0)解析：令y0，即4t-30，解得t=.于是x=1+()2=所以曲线与x轴交于点（，）答案：【例题2】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀速圆周运动，角速度为2 rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程思路分析：求动点的轨迹方程实际上就是寻求动点的横、纵坐标之间的关系，其参数方程就是通过一个参变量把动点的横、纵坐标分别表示出来解：如图所示，设运动开始时质点位于a点处，时刻为t0设动点m(x,y)对应时刻t，由图可知又=2t，从而质点运动轨迹的参数方程为（t为参数，t0）绿色通道 当所求曲线上的点在已知曲线上时，常用代入法求曲线的方程变式训练3.与方程xy=1表示相同曲线的参数方程（设t为参数）是（ ）a. b. c. d.解析：四个选项都满足xy=1，但注意到在方程xy=1中，x的取值范围是x|xr,且x0，而a中x0，b、c中x1，1，只有d选项中的x符合xr,且x0答案：d【例题3】 已知椭圆的参数方程为点m在椭圆上，对应参数t=，点o为原点，求直线om的斜率思路分析：要求直线om的斜率，就是要先求出点m的坐标，然后代入斜率公式中求解解：点m的坐标为所以直线om的斜率