几何实验教学和数学课程改革.doc

几何实验教学和数学课程改革*本文发表于 2002年国际数学家大会 卫星会议 - 21世纪数学课程与教学改革国际学术研讨会 2002/08, 重庆XXX摘要数学实验教学是近年的热门话题之一，但是，多留于演示的层次，学生是眼看手勿动的，这样的实验充其量只是演示实验。作为数学实验课，正如物理实验课一样，要强调学生自己动手操作，在实验过程中自己获取知识。这样将会牵涉到，数学实验平台本身是否适合学生实验的问题，牵涉到数学实验课程的形式、过程、教材、教法，实验课程与原教程的配合等一系列与课程改革有关的问题。作者开发了PG_Lab作为平面几何的学生实验平台，在澳门组织编写了第一套几何实验教材，进行了几何实验教学的试验，效果良好。本文从几何实验教学的作用谈起，讨论了动态几何与数学实验环境的基本要求，通过一个实验举例说明几何实验教学的形式和要点。最后介绍了作者在澳门培道中学推行数学实验教学的情况。AbstractMathematics experimental teaching is one of the recent hot topics in the world. However, it remains only at the demonstration level, with students sit idly watching teachers doing the experiments. Like physics experimental teaching, teachers should emphasize learning by handling and that students construct knowledge during the doing processes. Mathematics experimental teaching involves a series of issues related to the format of the curriculum, its teaching processes and method. These issues are pertinent to mathematics curriculum reform. This author has developed the necessary platform, called PG_Lab, and undertook pilot studies to examine the feasibilty of the new approach of teaching. The teaching materials developed are also found to be effective. This paper seeks to analyse the functions of mathematics experimental teaching, discuss the basic requirements of dynamic geometrical teaching environments, and to give examples on how such teaching can be conducted. Lastly, this paper introduces the scenerio of one Macao school (Pooito SchooL) in carrying out the research and developed project. 关键词 Key Word动态几何Dynamic Geometric几何实验环境Geometric Experiment Environments几何实验教学Geometric Experiment Teaching几何实验教学和数学课程改革一. 动态几何与几何实验环境1. 图形的性质几何学研究的对象是: 图形及其之间的关系。几何教科书上常用性质一词，例如等腰三角形的性质，平行四边形的性质等等。图形的性质是中学几何学习的主要内容。何谓图形的性质? 图形通常是划分为类别的，几何学中研究的图形通常是指某一图形类别而不是弧立图形。例如等腰三角形，这里，等腰三角形是一种类别，而不是一个特定的弧立的三角形。 图形类别是由图形定义来划分的，例如，有两边相等的三角形是等腰三角形，由此定义了等腰三角形这种图形类别。因此，在几何学中，定义是图形研究的起点，是一个非常重要的知识基础。 图形的性质是指同类图形所具有的共同特征，是从众多同类图形中由观察、测量、分析、思考，最后经归纳抽象而得到的。这就是定义和性质的来龙去脉。忽略了这一点，就有从定义出发，从理论到理论之嫌。2. 研究图形性质的基本方法和道路如上所述，图形的性质是由考察后经归纳而发现的，因此学习和研究图形性质的方法是:(1) 作出同一类别的众多图形；(2) 考察这些图形的共同特征；(3) 发现图形的某项性质，以数学语言表达；(4) 由于作图的有限性和不精确性，对此发现寻求逻辑证明。(5) 应用于解决问题。作图 观察(测量、思考、分析) 发现(猜想) 证明 应用，是学习和研究图形性质的基本方法和道路。粉笔、黑板式的传统教学，难以作出众多的同类图形，通常只能作出一、两个图形，缺乏众多便难以考察他们的共性，更无从发现图形的性质，习惯性的一两个图形还容易产生图形定势，例如等腰三角形总是画成正立的，学生对斜的等腰三角形难以接受和理解。缺少了前三个学习步骤，证明成了无源之水，无本之木，学生总有从何而来的疑问。不明白从何而来的结果只能是死记。人们常说眼见为实，眼见为实反映了人脑的思维方式和接受新事物的方式，不经过亲自观察发现或经验过的知识总有多少疑和抗拒，这是人脑的特性。只有达到相当理性的脑袋才能接受看不到的也会是真的，只要你能证明。但是初中学生的脑袋只有少数人能有这样的理性水平。 3. 动态几何真正能作出众多的同类图形，无论在时间或空间上都有很大的困难，在40分钟的课堂时空限制下几乎不可能实现。一个可行的办法是利用动态图形，动态图形是这样的图形：(1) 它可以随时被操控，可以很方便地改变其形状、大小、方位等等，这样的动态图形可以代表了众多；(2) 在图形动态变化过程中其几何性质不变，这样的动态图形可以代表了同类。将几何图形作动态考察就称为动态几何，动态几何教学是一种全新的教学模式，它是在一特定的几何实验环境下进行的教学，在几何实验的环境中，学生可以方便地作出要学习的几何图形，这些图形可以随时被操控，在动态变化的过程中，图形的几何性质保持不变，这时图形的性质就表现为图形在动态变化过程中的不变性。通过在动态过程中进行观察、测量和思考，集中注意力于发现图形的不变性，从而探究和发现图形的性质。由此补足了传统教学所缺少了的学习和研究图形性质的前三段学习步骤，解决了学生从何而来的疑问。动态几何教学彻底改变了传统教学中的三难:难以作(众多)图、难以(归纳)发现、难以(吸纳)理解的学习状态。动态几何教学在动态中发现不变性的过程中培养学生观察和分析的能力，观察的主要方法是目测、估算和测量，在目测、估算和测量的基础上进行归纳。目测和估算正是人脑思维最常用的方式，又是学生数学素质最底层的内容。动态几何教学让学生在教师的指导下，在课堂的时空条件下，重现前人研究几何图形的历程，使学生真正学习到研究几何的方法和技巧，使教学真正实现从学习知识转轨到学习方法。4. 几何实验环境进行动态几何教学的关键是要为学生提供一个能方便地作出动态图形的学习环境 几何实验环境。作者在数学实验环境的设计*数学实验环境的设计 韦辉梁 粤港澳信息技术教育研讨会 (2001/4 香港)一文中提出了数学实验环境应该具有如下一些要素:(1) 数学实验环境应能清晰地表达所研究的数学问题，这种表达要符合数学的有关约定。(2) 数学实验环境应能迅速地提供大量有关数学概念和规则的正例，以帮助学生形成概念和掌握规则。(3) 数学实验环境对所研究的数学元素应能进行动态操控和动态测量，具有实时反馈或同步互动的功能。(4) 数学实验环境允许在实验过程中随时添加某些可操控的数学元素，以帮助解决问题的探究。(5) 数学实验环境由学生直接操作，而不是眼看手勿动只能观看的。能达到上述诸要素的学习环境就是数学实验环境。数学实验教学强调学生自己动手，强调学生自己获取知识。现有的一些几何实验平台，多是以帮助教师教为设计的目标，这样的平台，以向学生演示为主，图形的制作、操控、实验结论等均由教师课前准备好，学生是眼看手勿动只能观看的。为帮助学生学而设计数学实验平台，以学生一人一机自己操控为学习环境，实验结论由学生自己获取。以帮助教师教为设计的目标与以帮助学生学为设计的数学实验平台可以作如下的简单比较:以帮助教师教为设计目标的平台以帮助学生学为设计目标的平台功能力求功能强大，越多越好，能集中数学各科内容最好。够用即可，分科(函数、平几、立几、解几)作成小平台。学习与培训教师需要相当时间进行学习。简单易学，不需太多学习时间，1-2小时即可入门。演示前准备通常要事前制作。可即兴演示，也可事前制作。教学模式以演示为主，以帮助教师讲解得更清楚。完全由学生操作，进行探究式和发现式学习。本人创作的Plane Geometric Laboratory - PG_Lab，平面实验室就是一个以帮助学生学为设计目标的几何实验环境。二. 几何实验教学1. PG_Lab 几何实验教学举例已知: 如图，AE=DE，AEDE，ABBC，DCBC，原命题: 求证: AB+DC=BC。新命题: 探究: AB、DC与BC的大小关系。(传统教学采原命题，几何实验教学采新命题)作图步骤:(1) 用工具作正方形ABCD；(2) 连结对角线AC；(3) 隐藏DA、CD，取消D点名称，隐藏D点，改点B为E，改点C为D；(4) 过E作直线EK，(5) 用工具，过A作ABEK，过D作DCEK；(6) 用工具，将ABE和ECD填色。观察与分析(1) 稍为移动A点，目测观察ABE和ECD，猜想到ABE _ ECD(2) AE=ED，AEDE (已知)(3) BEA _CDE (同角CED的余角)(4) RtABE_RtECD ( _ )(5) AB_EC，DC_BE(6) BC = AB+DC 原命题到此已完成，教学也到此为止。但用动态几何的方法进行探究式学习，还可以继续进行:实验设计(1) 移动A点可分别得如下图形。分析与发现(1) 当EK在AED之外时，BC等于AB、DC之_；(2) 当EK穿越AED时，BC等于AB、DC之_；后记(1) 按已知条件，原题只给出一种图形，结论只有一个: AB、CD之和等于BC；(2) 在PG_Lab上用动态几何的方法进行探究式学习可发现按已知条件，原题可以有多种图形，它们可分为两类，一类图形的结论是: AB、CD之和等于BC；而另一类图形的结论是: AB、CD之差等于BC。(3) 将题目由原命题改为新命题，是一种开放式命题，实为探究式和发现式教学法。新命题没有结论性语句，结论由学生进行探究后发现。有利于培养学生学会研究问题的方法，提高解决问题的能力，真正提高学生的数学素质。但是如果没有几何实验平台的支持，这种命题方式只有增加教学的难度，学生更感无从着手，教学效果因拔苗助长而走向反面。(4) 学生由探究中发现了新结果，比原命题的学习更为活泼生动、印象深刻、有趣乐学，而且比原命题学得更多和更好。有利于提高学生的学习能力和创新能力。2. 几何实验教学学习和研究图形性质的前三段学习步骤: 作图 观察(思考、分析) 发现(猜想)，是一个手脑并用的过程，纳入并赋以科学实验的规则是最佳的学习方法。在几何实验环境中，学生可以很容易便获得众多的同类图形，这些图形可以很容易被操控，在操控过程中，在教师的引导下，学生进行观察与思考，在观察与思考中获得发现或猜想，然后进行逻辑证明和付于应用，这就是几何实验教学。几何实验环境的目的在于让学生进行探究和发现，几何实验环境的功能是为学生探究和发现尽量提供方便。几何实验教学是让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题的一种教学过程，在这个过程中，学生进行探究和发现的活动，一切结论应该由学生自己得出。教师通过提问引导和启发学生学习研究数学问题的方法。在数学实验教学中教师仍然处于主(要引)导的地位，而学生则处于主动学习的地位。建构主义学习理论强调以学生为中心，认为 “情境”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。传统的黑板教学恰恰就是欠缺了几何学习的“情境”，而在教师讲学生听的课堂里，“协作”和“会话”互动启发思维也不容易实现，因而 “意义建构”也就十分困难。几何实验环境为学生提供了一个动态的几何学习情景，教学采取探究式和发现式的教学方法，在实验过程中，教师始终都只是向学生提问，通过提问，启发学生进行实验设计，进行观察、分析与思考。 “归纳或猜想”一定要由学生自己得到，如果学生得不到教学预期的效果，教师应进一步引导学生再次实验，再次观察和分析，直到获得成功。如果到下课时间，学生还未获得预期的发现，教师可以指出要注意的事项，让学生课后或在家里继续进行实验(作为作业)，直到获得发现为止。在整个实验过程中，教师决不要代替学生回答问题，学生未能获得发现，只意味着实验尚未完成，而教师代替学生回答问题，则表示了实验失败。在学甚么和怎样学的问题上，教师始终都是起主导的作用，而整个学习过程学生也始终处于主动学习的地位，这是几何实验教学过程与传统数学教学过程最大的分别。三. 由几何实验教学推动几何课程改革在几何教学中引入科学实验，必需对原有课程进行彻底改革，包括:课程规划、教学模式、教材编写、教学方法、教师培训等。例如:1. 传统几何教材是按照定义、定理 证明 举例应用的学习模式来编写的，引入几何实验后的几何教材，应按实验 猜想 证明 定理 应用的学习模式来编写；2. 在教科书本上要少用结论性语句，需要下结论的地方留以空白，以填充的形式，通过实验，在学生自己获取知识之后填充上去，允许学生以自己的语言表达(要符合数学语言的有关约定)；3. 配合书本教材，设计相关实验报告，编写与之配合的几何实验手册；4. 数学实验教学法可以列入职前数学教师(师范生)培训课程；四. 几何实验教学在澳门培道中学PG_Lab是作者于1995年在澳门大学教育学院任教时，为讲授计算机在中学数学教学中的应用课程而设计的，现已由澳门基金会在澳门出版。2000年作者转任澳门培道中学副校长后，组织培道中学数学教师进行了学习，并着手编写了第一套平面几何 学生实验手册(该书荣获澳门教学设计优异奖)，于01/02年度在初二年级试用，一年下来，师生反映教学效果良好。以前，学生代数的成绩一般会高于几何的成绩，进行几何实验教学试验后，全级学生几何的不及格