北师大版选修21 空间向量的运算 学案.doc

2空间向量的运算学习目标重难点1会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律2会利用空间两个向量共线的充要条件解决有关问题3能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积.重点：空间向量的加法与数乘运算及运算律的理解，数量积的求法难点：应用向量进行有关计算的符号疑点：数量积的结果是数，可以比较大小，可正，可负，可为0.1空间向量的加减法(1)设a和b是空间两个向量，过一点o作a和b的_和，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的_就是a与b的和，记作_.(2)与平面向量类似，a与b的差定义为a+(b)，记作_，其中-b是b的_.(3)空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同，表示如下：结合律_；交换律_.预习交流1做一做：利用空间图形验证空间向量满足结合律2空间向量的数乘(1)空间向量a与一个实数的乘积是一个_，记作_满足：|a|_；当0时，a与a_；当0时，a与a_；当0时，a_.(2) 空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同，表示如下：a_(r)；(ab)_，()a_(r，r)；()a_(r，r)(3)空间两个向量a与b(b0)_的充要条件是存在实数，使得ab.预习交流2问题研讨：设e1，e2不共线，且e1e20，那么你能够得到什么结论？3空间向量的数量积(1)由于空间任意两个向量经平移后都可以在_内，因此，空间两个向量a和b的数量积和平面中的情形完全一样，即空间两个向量a和b的数量积是_，等于_，记作_(2)空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律交换律：ab_；分配律：a(bc)_；(ab)_(r)(3)和平面向量一样，利用空间向量的数量积，可以得到以下结论：|a|_；ab_；cos a，b_(a0，b0)(4)对于任意一个非零向量a，我们把叫作向量a的_，记作a0，a0与a_.预习交流3议一议：三个向量a，b，c均不为0，则等式(ab)ca(bc)成立吗？答案：1(1)相等向量对角线oc对应的向量ab(2)ab相反向量(3)(ab)ca(bc)abba预习交流1：提示：如图所示，作a，b，c，则(ab)c()，a(bc)()，(ab)ca(bc)2(1)向量a|a|方向相同方向相反0(2)aabaa(a)(3)共线预习交流2：提示：0.(否则e1e2，与e1，e2不共线矛盾)3(1)同一个平面一个数|a|b|cos a，bab(2)baabac(a)b(3)ab0(4)单位向量同方向预习交流3：提示：不成立，因ab，bc是一个数，(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故它们不表示同一个向量在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、空间向量的加减法运算如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，下列各式中运算的结果为的共有()()+；()+；()+；()+.a1个b2个c3个 d4个已知平行六面体abcd abcd，化简下列各式(1)；(2).1.充分利用空间向量的运算律及，等化简技巧2充分利用图形的有关性质二、空间向量的数乘运算如图所示，在长方体abcd a1b1c1d1中，a，b，c，e，f，g，h，p，q分别是ab，bc，cc1，c1d1，d1a1，a1a的中点，求证：0.已知平行六面体abcd a1b1c1d1，m为a1c1与b1d1的交点，a，b，c，化简下列向量表达式(1)；(2).先用a，b，c分别表示各向量，再进行向量的代数运算，用空间向量的方法处理立体几何问题，使复杂的问题代数化正确运用向量的运算律，在向量的运算中要注意向量的方向对向量算式的化简或证明，要结合图形，充分利用图形的性质三、空间向量的数量积运算如图所示，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都为a，点e，f，g分别是ab，ad，dc的中点求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3)；(4).思路分析：利用数量积的定义分别求出向量的长度及两向量的夹角，再计算如图所示，已知在空间四边形abcd中，abcd，acbd.求证：adbc.1.牢记公式：ab|a|b|cos a，b及若ab，则ab0.2注意向量的夹角的大小，如，60，而，120.答案：活动与探究1：d解析：()；()；()；().迁移与应用1：解：(1)()()().(2)()().活动与探究2：证明：在长方体abcd a1b1c1d1中，e，f，g，h，p，q分别是ab，bc，cc1，c1d1，d1a1，a1a的中点，a，b，c.ab，ca，bc.abcabc0.迁移与应用2：解：a，b，c，a，b，(1)cababc.(2)abab0.活动与探究3：解：(1)在空间四边形abcd中，|a，且，60，aacos 60a2.(2)|a，|a，60，aacos 60a2.(3)|a，|a，又，a2cos a2.(4)|a，|a，efbd.，60，a2cos 60a2.迁移与应用3：证明：abcd，0.acbd，0.()()()()0，adbc.1.在正方体abcd a1b1c1d1中，向量表达式化简后的结果是()a.b.c. d.2.已知空间四边形abcd，连接ac，bd，若g是cd的中点，则()等于()a. b.c. d.3设|a|1，|b|2，且a，b120，则(2ab)2()a2 b12c2 d44已知非零向量a，b不平行，并且|a|b|，则ab与ab之间的位置关系是_5.已知在空间四边形oabc中，oboc，abac，求证：oabc.答案：1a解析：().2b解析：().3d解析：(2ab)24a24abb24412cos 12044.4垂直解析：(ab)(ab