北师大版选修22 第二章 5 简单复合函数的求导法则 学案.doc

5简单复合函数的求导法则 已知y(3x2)2，ysin.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数问题2：试说明y(3x2)2如何复合的提示：令ug(x)3x2，则yu2，u3x2，yf(u)f(g(x)(3x2)2.问题3：试求y(3x2)2，f(u)u2，g(x)3x2的导数提示：y(9x212x4)18x12，f(u)2u，g(x)3.问题4：观察问题3中导数有何关系提示：yf(g(x)f(u)g(x)1复合函数的概念对于两个函数yf(u)和u(x)axb，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，称这个函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作yf(x)，其中u为中间变量2复合函数的求导法则复合函数yf(x)的导数为：yxf(x)f(u)(x)利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤：(1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数(2)求每层的初等函数的导数，最后把中间变量转化为自变量的函数 简单的复合函数求导例1求下列函数的导数：(1)ysin 3x；(2)y；(3)ylg(2x23x1)；(4)ysin2.思路点拨先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解精解详析(1)设ysin u，u3x，则yxyuux(sin u)(3x)cos u33cos 3x.(2)设yu，u12x2，则yxyuux(u)(12x2)u(4x)(12x2) (4x)2x(12x2) .(3)设ylg u，u2x23x1，则yxyuux(lg u)(2x23x1)(4x3).(4)设yu2，usin v，v2x.则yxyuuvvx2ucos v22sin vcos v22sin 2v2sin.一点通求复合函数导数的步骤：确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yf(u)，ug(x)；分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求f(u)，再求g(x)计算f(u)g(x)，并把中间变量转化为自变量的函数整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程1函数y的导数是()a.b.c d.解析：y(3x1)2，y2(3x1)3(3x1)6(3x1)3答案：c2函数f(x)(2x1)5，则f(0)的值为_解析：f(x)5(2x1)4(2x1)10(2x1)4，f(0)10.答案：103求下列函数的导数(1)y；(2)ysin3xsin x3；(3)y.解：(1)设y，u3x，则yxyuux(1).(2)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.(3)设yu4，u13x，y(u4)(13x)(4u5)(3)12u512(13x)5.复合函数导数的综合问题例2某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)3sin(0t24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t18时的导数，并解释它的实际意义精解详析设f(x)3sin x，x(t)t.由复合函数求导法则得s(t)f(x)(t)3cos xcos.将t18代入s(t)，得s(18)cos(m/h)它表示当t18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.一点通将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况4(新课标全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()a0 b1c2 d.3解析：ya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.答案：d5f(x)，且f(1)1，则a的值为_解析：f(x)(ax1)，f(1)1.解得a2.答案：26设曲线yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析：yaeax，且yeax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，k2f(0)a，即a2.答案：27一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x416e2t.(1)求汽水温度x在t1处的导数；(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系xy32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数解：x32e2t.(1)当t1时，x.(2)y(x32)(16e2t36)，ye2t(2)e2t.求复合函数的导数应处理好以下环节：(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数 1下列函数不是复合函数的是()ayx31bycoscy d.y(2x3)4解析：a中的函数是一个多项式函数，b中的函数可看作函数ux，ycos u的复合函数，c中的函数可看作函数uln x，y的复合函数，d中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数，故选a.答案：a2函数y2的导数为()a2b2c2 d.2解析：y22.答案：c3函数yx2cos 2x的导数为()ay2xcos 2xx2sin 2xby2xcos 2x2x2sin 2xcyx2cos 2x2xsin 2xdy2xcos 2x2x2sin 2x解析：y(x2)cos 2xx2(cos 2x)2xcos 2xx2(sin 2x)(2x)2xcos 2x2x2sin 2x.答案：b4某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为yf(t)，则在时刻t40 min的降雨强度为()a20 mm b400 mmc. mm/min d. mm/min解析：f(t)10，f(40).答案：d5若f(x)，则f(0)_.解析：f(x)(exex)，f(0)0.答案：06已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_解析：设切点为(x0，y0)，则y0x01，且y0ln(x0a)，所以x01ln(x0a)对yln(xa)求导得y，则1，即x0a1.代入可得x01，所以a2.答案：27设f(x)aexbln x2，且f(1)e1，f(1)1，求实数a，b的值解：f(x)aex，由已知得解得.8求下列函数的导数(1)y(2x2x1)4；(2)y；(3)yxln(1x)解：(1)y4(2x2x