均值不等式最值恒成立.doc

均值不等式一、 重点考点1. 不等式成立问题（1）恒成立问题 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上（2）能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上； 若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.（3）恰成立问题 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为； 若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.2.不等式最值问题常用方法：配凑法（凑系数，凑项，分离）、整体代换、换元、取平方、倒数二、典型例题（一）不等式恒成立常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法例1、（1）设实数满足，当时，的取值范围是_（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_（3）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_（4）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.(5)已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_（二）最值问题1. 配凑 凑系数例2、当时，求的最大值。解：当且仅当，即x2时取等号所以当x2时，的最大值为8变式：（1）已知0x，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+的值域.思路分析：（1） 由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（）（2）中，未指出x0，因而不能直接使用基本不等式，需分x0与x0讨论(-,-22,+) 凑项例3、已知，求函数的最大值。解：当且仅当，即时等号成立 分离例4、求的值域。解： 当，即时 （当且仅当x1时取“”号）。 当，即时 （当且仅当x3时取“”号）。 的值域为。 变式:求函数y=的最小值.（当x=0时，函数取得最小值3）评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。2. 整体代换例5、已知，求的最小值。解1：不妨将乘以1，而1用a2b代换。当且仅当时取等号，由解法2：将分子中的1用代换。变式：已知x0,y0，且+=1，求x+y的最小值.（3种方法，x+y取得最小值16）3. 换元例6、求函数的最大值。解：变量代换，令，则当t0时，y0当时，当且仅当，即时取等号故4. 取平方例7、求函数的最大值。解：注意到的和为定值又，所以，当且仅当，即时取等号故。5. 取倒数例8、已知，求函数的最小值. 解 由，得，. 取倒数，得 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值是. 注：我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。例9、求f(x)=3+的最大值（0x1）.解：0x1,lgx0,0.-0.(-lgx)+(-)2=4.lgx+-4.f(x)=3+lgx+3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+ (0x1)的最大值为-1.变式：已知，且满足，求的最大值当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值是. 例10、求函数的最小值。解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。变式：求下列函数的最大值： 解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。例11、若x、y，求的最小值。解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。3、 课后练习1、若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_（,）2、 若，求的最大值 求函数的最小值53、 求函数的最小值8已知，且，求的最小值4、当x-1时，求f(x)=x+的最小值.【f(x)min=1】5、已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值解：x+y=(x+y)()=a+b=10+.x,y0,a,b0，x+y10+2=18，即=4.又a+b=10，或6、当x时，求函数y