专题复习：对数与对数函数.doc

对数与对数函数1对数的概念(1)对数的定义：如果axN(a0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 a10时叫常用对数记作xlg_N， ae时叫自然对数，记作xln_N.(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：loga10. logaa1. 对数恒等式：alogaNN. 换底公式：logab.推广logab，logablogbclogcdlogad.(3)对数的运算法则：如果a0，且a1，M 0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；log amMnlogaM.2对数函数的概念(1)把ylogax(a0，a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)函数ylogax(a0，a1)是指数函数yax的反函数，函数yax与ylogax(a0，a1)的图象关于yx对称3对数函数的图象与性质ylogaxa10a1时，y0当0x1时，y1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数基础训练1设Ay|ylog2x，x1，B，则AB为()A.B. C. D(0,2)解析：选CAy|y0，B，AB.2函数yloga(3x2)(a0，a1)的图象经过定点A，则A点坐标是()A. B. C(1,0) D(0,1)解析：选C当x1时y0.3函数ylg |x|()A是偶函数，在区间(，0)上单调递增 B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递减 D是奇函数，在区间(0，)上单调递增解析：选Bylg |x|是偶函数，由图象知在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增4函数f(x) 的定义域为_解析：由12log6x0，解得log6x0x，故所求定义域为(0， 答案：(0， 5已知函数f(x)lg x，若f(ab)1，则f(a2)f(b2)_.解析：由f(ab)1得ab10，于是f(a2)f(b2)lg a2lg b22(lg alg b)2lg(ab)2lg 102.答案：2对数式的化简与求值 例1求解下列各题(1)lg lglg_；(2)若2a5bm，且2，则m_.自主解答(1)lg lglg(5lg 22lg 7)lg 2(lg 52lg 7)lg 2lg 72lg 2lg 5lg 7lg 2lg 5lg(25).(2)由2a5bm得alog2m，blog5m，logm2logm5logm10.2，logm102，即m210.解得m(m0)答案(1)(2)专题训练1化简：(1)lglg 70lg 3；(2)345211.解：(1)原式lglg 101|lg 31|lg 3.(2)原式3210211321.对数函数的图象及应用 例2(1)函数yln(1x)的图象大致为()(2)当0x时，4x0，知x1，排除选项A、B；设t1x(x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知，fg，即2，所以a的取值范围为.法二：0x，14x1，0a1，排除选项C，D；取a，x，则有42，log1，显然4xlogax不成立，排除选项A.答案(1)C(2)B一题多变若本例(2)变为：若不等式(x1)2logax在x(1,2)内恒成立，实数a的取值范围为_解析：设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需f1(x)(x1)2在(1,2)上的图象在f2(x)logax图象的下方即可当0a1时，如图，要使x(1,2)时f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，又即loga21.所以10；当x0时，yf(1x)为增函数，且y0对任意xR恒成立显然a0时不合题意，从而必有即解得a.即a的取值范围是.(2)因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30得1x0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性解：(1)由ax10得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x1时，f(x)的定义域为(0，)；当0a1时，设0x1x2，则1ax1ax2，故0ax11ax21，loga(ax11)loga(ax21)f(x1)1时，f(x)在(0，)上是增函数类似地，当0a1时，f(x)在(，0)上为增函数难点突破典例已知xln ，y log52，ze，则() Axyz Bzxy Czyx Dyzx 巧思妙解因为ln ln e1，log52log551，所以xy.故排除A、B；又因为log52log5，e，所以zy.故排除C.答案D针对训练1设alog3，b0.3，cln ，则()Aabc Bacb Ccab Dbac解析：选Aalog3log10,0b0.3ln e1，故abbc Bacb Cbac Dbca解析：选B因为函数yx为增函数，所以a0.101；因为sinsinsin1，函数yln x为(0，)上的增函数，所以ln sinln，而函数ylogx为(0，)上的减函数，所以0log1cloglog1.所以b0c1a，故选B.跟踪演练1函数y的定义域为()A(0,8 B(2,8 C(2,8 D8，)解析：选C由题意可知，1lg(x2)0，整理得lg(x2)lg 10，则解得20时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.6已知函数f(x)log|x1|，则下列结论正确的是()Aff(0)f(3) Bf(0)ff(3) Cf(3)ff(0) Df(3)f(0)f解析：选C依题意得f(3)log210，log2floglog1，即1f0，又f(0)log10，因此有f(3)f1)在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，则a等于_解析：a1，f(x)logax在a,2a上为增函数loga2alogaa，解得a4.答案：410计算下列各式(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2；(2).解：(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.11说明函数ylog2|x1|的图象，可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到并由图象指出函数的单调区间解：作出函数ylog2x的图象，再作其关于y轴对称的图形得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示)由图知，函数ylog2|x1|的递减区间为(，1)，递增区间为(1，)12若f(x)x2xb，且f(log2a)b，log2f(a)2(a1)(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)f(1)，且log2f(x)f(1)解：(1)f(x)x2xb，f(log2a)(log2a)2log2ab.由已知得(log2a)2log2abb，log2a(log2a1)0.a1，log2a1，即a2.又log2f(a)2，f(a)4.a2ab4.b4a2a2.故f(x)x2x2.从而f(log2x)(log2x)2log2x22.当log2x，即x时，f(log2x)有最小值.(2)由题意0x1.课后训练1定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(3)的值为()A1 B2C2 D3解析：选D依题意得f(3)f(2)f(1)f(1)f(0)f(1)f(0)log283.2已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)lg x设af，bf，cf，则(D)Aabc BbacCcba Dca0且a1)，满足对任意的x1，x2，当x10，求实数a的取值范围解：因为对任意的x1，x2，当x10，所以函数f(x)在上单调递减令tx2ax3，则二次函数tx2ax3的对称轴为x，其在上单调递减由复合函数的单调性，可知ylogax为单调增函数，故a1.由对数函数的定义域，可知在区间上，t0恒成立，即x2ax30在区间上恒成立而函数tx2ax3在区间上的最小值为2a33.故30，解得|a|2.综上可得a的取值范围是(1,2)备选训练1设函数f(x)若f(m)0时，f(m)f(m)logm1；当m0时，f(m)f(m)log2(m)log(m)1m0.所以，m的取值范围是(1,0)(1，)2已知函数f(x)|lg x|，若0ab，且f(a)f(b)，则2ab的取值范围是()A(2，) B2，) C(3，) D3，)解析：选B由于函数f(x)在区间(0,1上单调递减，在区间1，)上单调递增，当0ab，且f(a)f(b)时，只能0a1，故f(a)|lg a|lg a，f(b)|lg b|lg b由f(a)f(b)，得lg alog b，即lg(ab)0，故ab1.则2ab22，当且仅当2ab，即a，b时取等号3化简：