05数本2-052110190-李玉振-论文.doc

学学 士士 学学 位位 论论 文文 化归方法在问题解决中的应用 姓 名李玉振 院 系数学与信息学院 专 业数学与应用数学 年 级2005 级数本 2 班 学 号 052110190 指导教师李飞 2009 年 5 月 20 日 独 创 声 明 本人郑重声明 所呈交的毕业论文 是本人在指导老师的指导下 独 立进行研究工作所取得的成果 成果不存在知识产权争议 尽我所知 除 文中已经注明引用的内容外 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中 以明确方式标明 此声明的法律后果由本人承担 作者签名 二 九 年 五 月 二十 日 毕业论文使用授权声明 本人完全了解鲁东大学关于收集 保存 使用毕业论文的规定 本人愿意按照学校要求提交论文的印刷本和电子版 同意学校保存论 文的印刷本和电子版 或采用影印 数字化或其它复制手段保存论文 同 意学校在不以营利为目的的前提下 建立目录检索与阅览服务系统 公布 论文的部分或全部内容 允许他人依法合理使用 保密论文在解密后遵守此规定 论文作者 签名 二 九 年 五 月 二十 日 I 目 录 1 引言引言 1 2 化归方法的初步认识化归方法的初步认识 2 2 1 化归方法的含义 2 2 2 化归的功能 2 2 3 化归的实质 2 3 化归方法的应用化归方法的应用 2 3 1 化归方法在数列中的应用 2 3 2 化归方法在函数 方程 不等式中的应用 5 3 3 化归方法在代数求值中的应用 6 3 4 化归方法在恒成立问题中的应用 6 3 5 化归方法在几何问题中的应用 7 4 化归思想的培养化归思想的培养 9 5 总结与建议总结与建议 10 参考文献参考文献 10 致致 谢谢 10 鲁东大学学士学位论文 1 划归方法在问题解决中的应用 李玉振 数学与信息学院 数学与应用数学 2005 级数本 2 班 052110190 摘要 摘要 化归方法是中学数学中常见的一种思想方法 在中考和高考中占据很重要的地位 无 论在初中还是在高中数学学习中 化归思想无处不在 它是分析问题解决问题的有效途径 化归方 法在中学数学中的运用实例非常多 化归思想贯穿于中学考试的各个方面 无论是中考还是高考 不管是主观题还是客观题 我们都能找到化归方法的应用之处 化归方法在中学数学中具有十分重 要的地位 是历年数学命题专家们一直青睐的重要考点之一 关键词 关键词 中考 高考 化归 化归方法 化归思想 Classified as problem solving method in the application Li Yuzhen 052110190 Class 2 Grade 2005 Mathematics College Entrance Examination Induction Inductive method Inductive Ideology 1 引言 重视数学知识的发生 形成和发展过程的教学在有效形成学生认知结构中起着十 分重要的作用 问题是数学的心脏 方法是数学的行为 思想是数学的灵魂 不管是数 学概念的建立 数学规律的发现 还是数学问题的解决 乃至整个 数学大厦 的构建 都 离不开数学思想方法的培养和建立 因此 在教学中 我不仅重视知识形成过程 还十 分重视发掘在数学知识的发生 形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法 在一个人 的一生中 最有用的不仅是数学知识 更重要的是数学思想和数学意识 在中学数学中 化归不仅是一种重要的解题思想 也是一种最基本的思维策略 化 归方法是中学数学最基本 最重要的思想方法之一 在中学数学考试中屡屡出现 且出 现的题型多种多样 化归方法是中学数学的重要内容又是学习高等数学的基础 本文从 化归方法的初步认识 化归方法的应用 化归方法的培养 用化归思想方法解题的注意 点等内容出发 比较全面地体现化归思想在中学数学解题中的作用和地位 鲁东大学学士学位论文 2 2 化归方法的初步认识 2 1 化归方法的含义 从字面上看 所谓 化归 可以理解为转化和归结的意思 通俗的说化归就是 把不会的东西转化为我们已会的东西 数学方法论中所论及的 化归方法 是指数学 家们把待解决或未解决的问题 通过某种转化过程 归结到一类已经能解决或者比较 容易解决的问题中去 最终求得原问题的解答的一种手段和方法 化归方法也称为化 归原则 化归方法的一般模式可图示如下 化归在数学解题中几乎无处不在 例如 解题中常用的代数式的各种恒等变形 几 何量的等量转移 包括等比代换 等积代换 以及几何图形的各种变换 都是实现等量 转移的具体手段 在解综合题时 由于有些条件比较隐蔽 或所给的条件比较分散 或 是所求的结论比较复杂 这是我们就更需要熟练运用化归的思想 把问题转化为我们比 较熟悉的问题 从而较快的找到解题思路 2 2 化归的功能 化归方法的基本功能是 生疏化成熟悉 复杂化成简单 抽象化成直观 含糊化成 明朗 这是符合人思维规律的方法 也是我们之所以应用它的原因 2 3 化归的实质 化归方法的实质就是以运动变化发展的观点 以及事物之间相互联系 相互制约的 观点看待问题 善于对所要解决的问题进行变换转化 使问题得以解决 这也是辩证唯 物主义的基本观点 化归思想实质上就是一种转化的思想 其主导思想是把一种研究对象在一定条件下 转化为另一种研究对象 以取得 化难为易 化繁为简 的效果 当然在进行转化时要 特别注意转化后的问题与原问题一定是等价的 否则转化就失去了意义 3 化归方法的应用 3 1 化归方法在数列中的应用 我们在解决数列问题时总是设法把所求的数列转化为我们所熟知的等差数列和等 比数列 例 3 1 1 求等比数列的前 n 项和 公比 q1 n a n s 法一 鲁东大学学士学位论文 3 n s 21 1111 n aa qa qa q q n s 21 1111 nn a qa qa qa q 故 q n s n s 1 a 1 n a q 即 n s 1 1 1 n aq q 法二 n s 21 1111 n aa qa qa q 21 1 1 n aqqq 而 21 1 1 1 n n q qqq q 从而 n s 1 1 1 n aq q 例 3 1 2 在数列中 n a 11 4 340 nn aaa 求 提示 试证明数列是等比数列 n a 2 n a 分析 数列不是我们所熟悉的数列所以我们应该想方设法把它转化为我们熟 n a 知的数列 再由提示 我们把看成是一个整体 去找这个整体的关系式 2 n a 解 由条件 1 340 nn aa 得 1 23 2 nn aa 由 1 4a 得 2 n a 即 20 n a 从而是一个以 3 为公比 2 2 为首项的等比数列 2 n a 1 a 故 2 n a 1 2 3n 2 n a 1 2 3n 例 3 1 2 中给出了提示 试证明数列是等比数列 如何在不给出提示的情 2 n a 况下来解决上述问题的一般情形呢 我们引入例 3 1 3 例 3 1 3 在数列中 首项为定值 n a 1 a 1 0 nn akal 1 0 1 l a k 求 n a 分析 上题我们以一个等比数列为中介解决了问题 本题我们仍用此方法 问题 难就难在怎样去找那个等比数列 我们不妨那个等比数列已找到 再用待定系数的方法 去解决这个问题 解 设经过转化可化为 1 0 nn akal 1 nn amk am 可转化为 1 nn amk am 1 1 0 nn akamk 故 1nn akal 1 1 nn akamk 鲁东大学学士学位论文 4 化简得 1 lmk 当 k 1 时 数列是一个以为公差的等差数列 n al 1 1 n aal n 当时 1k 1 l m k 故 可转化为 1 0 nn akal 1 11 nn ll ak a kk 当 k 0 时 是一个常数列 n a n al 当时 由知是一个以 k 为公比的等比数列 0k 1 0 1 l a k 1 n l a k 1 n l a k 1 1 1 n l ak k 即 1 1 11 n n ll aak kk 综上 1 1 1 1 1 0 1 0 11 n n al nk al k ll akkk kk 例 3 1 3 中的 是一个常数 如果把它换为关于 n 的多项式该 1 0 nn akal l f n 怎样解决问题呢 我们仍可以通过构造等比数列的方法解决它 例 3 1 4 在数列中 首项为定值 n a 1 a 1 0 nn akaf n 求 n a 解 设可转化为 1 0 nn akaf n 1 1 nn ag nk ag n 当 时 是一个以 k 为公比的等比数列 0k 1 1 0ag n ag n 又可转化为 1 1 nn ag nk ag n 1 1 0 nn akag nkg n 故 11 1 nnnn akaf nakag nkg n 即 1 f ng nkg n 若 f n 是一个关于 n 的多项式 则只需设 1 110 ss ss g nb nbnbnb sf n 把它带入上式比较系数即可求出 g n 从而求出 n a 例如 2 321f nnn 我们设 2 g nanbnc 把 代入并比较系数 f n g n 1 f ng nkg n 得 a 1 b c 0 即 2 g nn 鲁东大学学士学位论文 5 又 时 是一个以 k 为公比的等比数列 0k 1 1 0ag n ag n 故 时 0k 1 1 0ag 21 1 1 n n anak 从而 时 0k 1 1 0ag 12 1 1 n n aakn 3 2 化归方法在函数 方程 不等式中的应用 在中学数学中我们始终强调函数 方程 不等式三者不可分割 在解决问题时一 定注意这三者之间的关系 例 3 2 1 在实数范围内解方程 2 66 1 1xx 分析 按一般解法 两边平方后得到一个完全五次方程 且系数甚大 很难求解 如果把它化归为函数问题 将方程的左右两边分别看成是函数 f x 和 g x 则 g x 由函数的图像性质知 原方程的解即两图像的交点必在直 1 fx 线 y x 上 于是便得以下简捷解法 解 令 2 6 1 yx x 则 3 60 xx 即 x 2 0 2 23xx 从而 x 2 0 从而 x 2 是原方程的根 例 3 2 2 已知不等式对任意的恒成立 求 a 的范围 22 1 1 10axax xR 分析 若只从不等式的角度去考虑该问题 我们很难下手 但如果想到了函数结合 则此问题非常简单 解 令 y 22 1 1 1axax 若 即 2 10a 1a 易知当且仅当 a 1 时符合题意 若 即 2 10a 1a 则 y 是二次函数 22 1 1 1axax 若使恒成立 则其图像开口向上 且与横轴无交点 0y 有 鲁东大学学士学位论文 6 2 22 10 1 4 1 0 a aa 解得 或 5 3 a 1a 综上 或 5 3 a 1a 3 3 化归方法在代数求值中的应用 在求一些式子的值时 我们往往不能直接完成 这就需要我们用间接的办法去解决 转化为我们学过的东西 很简便的就能完成任务 例 3 3 1 求极限 1 1 lim 1 x x x 分析 我们通常采用化简极限号里面的式子的方法 细想一下也可以把整个式子 看为函数在 x 1 处的导数 yx 解 法 1 1 1 lim 1 x x x 1 1 lim 1 x x 1 2 法 2 1 1 lim 1 x x x 1 x x 1 2 例 3 3 2 已知 求的值 1 2x x 4 4 1 x x 分析 题目的条件中所含的是字母 x 的一次式 而所求的结论中是 x 的四次式 因次我们可以通过降次 由结论向已知转化 或通过升次 由已知向结论转化 解 2 2 4 4 1 x x 22 2 1 x x 22 1 2 2x x 3 4 化归方法在恒成立问题中的应用 很多时候我们在遇到恒成立问题时 总是把它转化为最值问题去解决 例如一个式 子恒大于一个定值 等价于这个式子的最小值大于这个数 因此该问题转化为求这个式 子的最小值 例 3 4 1 已知不等式对任意的恒成立 求 a 的范围 2 23xxa xR 分析 这个题目正好符合以上分析 故只需求的最小值即可 2 23yxx 因 2 1 2yx xR min 2y 故 2a 例 3 4 2 已知 且恒成立 求 a 的范围 0 1x y 1 1 y a x 鲁东大学学士学位论文 7 分析 由前面所学 只需求出的最小值 而可以看成过点 x y 和 1 1 y x 1 1 y x 1 1 的直线的斜率 而直线的斜率在几何上表示直线的倾斜程度 非常形象 直 观 易于帮助我们解决问题 解 由图形可看出的最小值是 1 1 y x 1 2 从而 1 2 a 3 5 化归方法在几何问题中的应用 1 化归方法在平面解析几何中的应用 例 3 5 1 问方程表示什么曲线 22 3 1 3xyxy 分析 若直接去化简上式 则非常繁琐 若把它转化一下 结果非常明显 解 可转化为 22 3 1 3xyxy 22 3 3 1 2 2 xy xy 即 点 x y 到定点 3 1 的距离等于到直线 x y 3 0 的距离的倍 2 故 原方程表示双曲线 例 3 5 2 设椭圆 C1的方程为 a b 0 曲线 C2的方程为 y 且曲线 C11 2 2 2 2 b y a x x 1 与 C2在第一象限内只有一个公共点 P 1 试用 a 表示点 P 的坐标 2 设 A B 是椭圆 C1的两个焦点 当 a 变化时 求 ABP 的面积函数 S a 的值 域 3 记 min y1 y2 yn 为 y1 y2 yn中最小的一个 设 g a 是以椭圆 C1的半焦 距为边长的正方形的面积 试求函数 f a min g a S a 的表达式 分析 本题考查曲线的位置关系 函数的最值等基础知识 考查推理运算能力及 综合运用知识解题的能力 第 1 问中将交点个数转化为方程组解的个数 考查易出现 计算错误 不能借助 找到 a b 的关系 第 2 问中考生易忽略 a b 0 这一隐性条 件 第 3 问中考生往往想不起将 min g a S a 转化为解不等式 g a S a 将难以下 手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题 是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识 的内涵及关联做到转化有目标 转化有桥梁 转化有效果 解 1 将 y 代入椭圆方程 得 x 1 1 1 222 2 xba x 化简 得 b2x4 a2b2x2 a2 0 由条件 有 a4b4 4a2b2 0 得 ab 2 鲁东大学学士学位论文 8 解得 x 或 x 舍去 2 a 2 a 故 P 的坐标为 a a2 2 2 在 ABP 中 AB 2 高为 22 ba a 2 4 1 2 2 2 2 1 4 22 aa baaS a b 0 b a 2 a 即 a 得 0 1 a 2 2 4 4 a 于是 0 S a 故 ABP 的面积函数 S a 的值域为 0 22 3 g a c2 a2 b2 a2 2 4 a 解不等式 g a S a 即 a2 2 4 a 4 1 2 4 a 整理 得 a8 10a4 24 0 即 a4 4 a4 6 0 解得 a 舍去 或 a 2 4 6 故 f a min g a S a 6 4 1 2 62 4 4 4 4 2 2 a a a a a 2 化归方法在立体几何中的应用 对于高中生来说立体几何计算问题是一个重点也是一个难点 但对于解三角形的 问题却是十分容易的 初中生就已学会 因此为了求解空间计算问题 我们可能采取 平移 或 射影 的方法将此二类问题化归为求解三角形的问题 其一般模式可图 示如下 例 3 5 3 如图 正三棱锥 P ABC 中 各条棱的长都是 2 E 是侧棱 PC 的中点 D 是侧棱 PB 上任一点 求 ADE 的最小周长 鲁东大学学士学位论文 9 分析 把空间问题化归成平面问题 是立体几何中化归思想最重要的内容 有这 种思想作指导 结合图形由于 AE 故只要把侧面 PAB PBC 展平 那么当 3 23 2 A D E 三点共线的 AE 长 即 AD DE 的最小值 从而得到 ADE 的最小周长 解 在图 2 的AED 中 PA 2 PE 1 120APE 故由余弦定理有 222 212 2 1 cos1207AE 所以 AE 从而 ADE 的最小周长为 737 4 化归思想的培养 通过以上知识 我们看到化归方法在数学解题中的重要作用 那么怎样培养中学生 的化归思想呢 首先 告诉学生 虽然数学有一定层次 学习必须建立在原有的基础之上 原来没 学好 现在想学好 困难是加大了 但是只要想学好 并付出努力 是完全可以学好 希望这样做能给学生学好数学充满自信心 同时告诉学生只要理解化归思想 学好数 学就不用怕了 在小学的时候三角形的面积不会求 但通过拼凑的方法把三角形转化 为平行四边形的一半 而平行四边形的面积是会求的 再通过三角形和平行四边形一 半的关系比较得到求三角形面积的一般方法 这里化归的对象是三角形 化归的目标 是平行四边形 化归的途径是拼凑 其次 作为老师要想提高课堂效率 必须掌握学生原有水平 找到 最近发展区 域 对于学生需要用到的知识进行适当复习 或者适当进行补充 在备课中很重要 一点就是要备好学生这头 了解学生的实际水平 为此 老师可以实行分层次教学 兼顾各种能力水平的学生 同时注意学生的学习态度和激发学生的学习积极性 提高 学生的学习兴趣 积极引导学生对化归思想进行研究 探索 还要注意渗透学习方法 的培养 让学生学会学习 鲁东大学学士学位论文 10 5 总结与建议 本论文从化归方法的几个概念出发 简要介绍了化归方法的一些基本知识 为加深 对化归方法的认识 本文具体列举了几个实例 然后简要介绍了化归思想的培养 本论 文的特点表现在以下几个方面 1 内容新 本论文所列举的几个例子都是本人自己在十几年的求学生涯中总结出来的 基 本可以代表自己的求学收获 例如化归方法在数列中的应用中的例子是自己高中三 年一点一滴积累而得 而非一日之功 2 角度新 本文在解决问题时 考虑到问题的一般方法 同时通过发散自己的思维 从不 同的角度出发 得到独特的解法 例如在化归方法在数列中的应用中 把数列问题 和函数联系起来 用函数的知识去解决数列问题 在例 3 3 1 中把极限问题转化为 导数问题 在例 3 5 3 中把立体几何问题转化为平面问题 等等 3 意图新 本文重在培养学生锲而不舍的探索精神 在本文中自己