2004-2006年GCT考试真题数学答案解析.doc

GCT考试网 （2004年）第二部分 数学基础能力测试 1设，则（ B ）A2B1C0D分析：由于，所以2 在一条长3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 米原已挖好一个坑，现改为每隔60 米立一根电线杆，则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ D ）（04） A . 50 和40 B . 40 和 50 C . 60 和30 D . 30 和60 分析：40和60的最小公倍数是120，在120米的距离内需挖一个新坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是30 和603 某校有若干女生住校，若每间房住4 人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有间未住满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ C ）.A . 4 B . 5 C . 6 D . 7分析：设女生宿舍的房间数为，则，解得4 甲、乙两种茶叶以x : y （重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50 元，乙种每斤40 元，现甲种茶价格上涨10 % ，乙种茶价格下降10 % 后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 等于（ C ）. （04）A . 1 : 1 B . 5 : 4 C . 4 : 5 D . 5 : 6分析：由于，所以5 在一条公路上，汽车A 、B 、C 分别以每小时80 、70 、50 公里的速度匀速行驶，汽车A 从甲站开向乙站，同时车B 、车C 从乙站出发与车A 相向而行开往甲站，途中车A 与车B 相遇两小时后再与车C 相遇，那么甲乙两站相距（ D ）. （04）A . 2010 公里B . 2005 公里C . 1690 公里D . 1950 公里分析：设甲乙两站相距公里，则，解得 6设均为正数，若，则（ A ）ABCD分析：本题利用代入法最为简单，当时，正分数的分子依次增大、分母依次减小，所以7实数在数轴上的位置如下图表示，baOc图中O为原点，则代数式（ A ）ABCD分析：因为，所以8已知，且满足和，则（ B ）ABCD分析：由于，且，所以当时，当时，从而有或根据，也可以推出有9表示的幅角，今又，则（ D ）ABCD分析：由于，所以10将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ C ）ABC*D分析：将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，共有种放法，3个空格相连的放法有6种，所求概率为11如图，直角中为直角，点E和D，F分别在直角边AC和斜边AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，则（ C ）（04）ABC*DACBEDF分析：ABCEDF2A3A4A4A如图，根据条件可知，三角形AFE，FED，DCB都是等腰三角形根据三角形的外角等于不相临的两个内角和及对顶角相等，可知角EFD的大小为2A，角CED的大小为3A，角BDC的大小为4A，所以角A和角B之和为5A，从而12如图，长方形ABCD由4个等腰直角三角形和一个正方形EFGH构成，若长方形ABCD的面积为，则正方形EFGH的面积为（ C ）（04）ABC*DDABCGH分析： 设小正方形的边长是，则GC的长度是，HB的长度是，AD的长度是，所以，从而13在圆心为O，半径为15的圆内有一点P，若OP=12，则在过P点的弦中，长度为整数的有（ B ）（04）A14条B13条*C12条D11条分析：OPA如图，过P且与直径垂直的弦的长度是，这也是过P点的弦中长度最短的，由于直径是过P点的弦中最长的一条，所以过P点的弦中长度为整数的有条注 按本题的问法，考虑到对称性，结果应为24条但选项中没有这个选项14直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（ A ）（04）Ax-2y=1*B.x+2y=1C.2x+y=1D.2x-y=1分析：x+y=0+2x-y=1-11/21-1/2如图，由于直线过点，这两点关于直线的对称点分别是，故直线过点，所以其方程为15中，AB=5，AC=3，该三角形BC边上的中线长是的函数，则当在中变化时，函数取值的范围是（ B ）（04）A（0，5）B（1，4）*C（3，4）D（2，5）分析 ：ABCf(x)35如图，当在内变化时，BC边上的中线长f(x)的变化范围是16如图，是两个逐段线性的连续函数，设，则的值为（ A ） A*BCD12345678xy6f(x)g(x)分析：由于，所以17.过点作曲线的切线，设该曲线与切线及轴所围成的面积为，曲线与直线及轴所围成的面积为，则（ D ）ABCD*分析：由于，所以18如下不等式成立的是（ B ）A在区间上，B在区间上，*C在区间上，D在区间上，分析：令 ，则，又，所以在区间上，有，即19设为连续函数，且，则（ C ）ABC*D分析：因为,且，所以20如图，抛物线把曲线与轴所构成的区域面积分为与两部分，则（ B ）AB*CD与的大小关系与的数值有关分析：解得由于，所以21设，则行列式（ A ）ABCD分析：22设，则矩阵中，第3行第2列的元素是（ B ）ABCD分析：因为，所以矩阵中，第3行第2列的元素是23若向量线性无关，而向量线性相关，则（ D ）ABCD分析：因为向量线性相关，所以存在不全为零的使得，即 ，又向量线性无关，故由非零解，从而，即24设矩阵，三阶矩阵，且满足，则（ C ）A，的秩B，的秩C，的秩*D，的秩分析：根据题意可知有非零解，所以，故又由于，且，所以的秩25下列矩阵中，与对角阵相似的矩阵是（ C ）ABCD分析：与对角阵相似的矩阵对应于特征值应有两个线性无关的特征向量，由于秩 等于2、秩 等于2、秩 等于1、秩 等于2，所以矩阵对应于特征值有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵相似（2005年）第二部分 数学基础能力测试（25题，每题4分，共100分）1.A. B. C. D. 分析：分子，分母，所以正确选项为A。2.设为正数，则A. B. C. D. 分析：由于，根据题意便知正确选项为C。3.在四边形ABCD中对角线AC，BD垂直相交于O点。若AC=30，BD=36，则四边形ABCD的面积为（D）。A.1080 B.840 C.720 D.540分析：ABCD如图，易知四边形ABCD的面积等于与的面积之和，其值为，即正确选项为D。4.某项工程8个人用35天完成了全工程量的，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（C）。A.18 B.35 C.40 D.60分析：设完成剩余的工程还需要的天数是，则，故，即正确选项为C。5. 已知，则A.50 B.75 C.100 D.105分析：由于，所以，从而，故正确选项 为B。6.2005年，我国甲省人口是全国人口的%，其生产总值占国内生产总值的%；乙省人口是全国人口的%，其生产总值占国内生产总值的%，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ）。A. B. C. D. 分析：设全国人口为p，国内生产总值为h，则甲省人均生产总值为，乙省人均生产总值为，所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是，即正确选项为D。7.复数A.4 B.2 C.2 D. 分析：因为，所以，即正确选项为C。8.三个不相同的非0实数成等差数列，又恰成等比数列，则等于（A）。A.4 B.2 C.-4 D.-2分析：根据条件可知，从而，由于，所以，即正确选项为A。注：本题根据，及可直接用排除法得到正确选项A。9.任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）。A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4分析：当所取正整数的各位数是2或8时，其平方数的末位数字就是4，所有正整数的各位数只有1，2，3，4，5，6，7，8，9，0等十种可能，所以要求的概率是，即正确选项为B。10.一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如右图所示（单位：分米）。若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。A.6 B.8 C.12 D.16分析：甲容器的容积是，乙容器的容积是，所以若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水8次，即正确选项为B。11.在中，AB=10，AC=8，BC=6。过C点以C到AB的距离为直径作一圆，该圆与AB有公共点，且交AC于M，交BC于N，则MN等于（ ）。A. B. C. D. 分析：如图，根据条件可知是直角三角形，由于是圆的直径，所以圆周角和都是直角，从而和都是正方形的对角线，所以，故正确选项为。12.已知，则的值是（ ）。A. B. C. D. 分析：由于当时，这与矛盾，所以，从而，即正确选项为。13.已知为反比例函数图像上的一点，过分别作两坐标轴的平行线，交轴于，交轴于，则的面积为（ ）。A. B.1 C. D. 分析：如图，的面积为，即正确选项为C。14.设一个圆的圆心为，该圆与坐标轴交于A，B两点，则到坐标原点的距离是（ ）。A.2 B.8 C.10 D.10分析：由于AB是圆的一条弦，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，从而。到坐标原点的距离是，即正确答案为C。15.已知，若圆的圆心在第四象限，则方程的图形是（ ）。A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.直线分析：由于圆的圆心在第四象限，所以，从而的图形是一个椭圆，即正确选项为B。16.设函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）。A. B. C. D. 分析：考虑得解得。即正确选项为D。17.函数在上有（ ）。A. 1条垂直渐进线，1条水平渐进线B. 1条垂直渐进线，2条水平渐进线C. 2条垂直渐进线，1条水平渐进线D. 2条垂直渐进线，2条水平渐进线分析：因为，所以曲线在上有2条垂直渐进线，2条水平渐进线。即正确选项为D。18.设在点处可导，且则=（ ）。A.0 B.1 C.2 D.3分析：因为在点处可导，所以其在点处连续，从而，。即正确选项为C。19.若的二阶导数连续，且，则对任意常数必有=（ ）。A. B.1 C.0 D. 分析：根据微分中值定理可知，存在介于和之间的使得。由于，所以。即正确选项为A。20.设是的一个原函数，则不定积分=（ ）。A. B. C. D.3分析：由于，所以。即正确选项为C。21.设连续函数在内严格单调递增，且，若是的反函数，则=( )。A. B. C. D. 分析：aaAB如图，根据定积分的几何意义可知：，所以。即正确选项为B。22.设向量，则向量组的一个极大线形无关组是（ ）。A. B. C. D. 分析：因为，所以向量组的一个极大线形无关组是。即正确选项为D。23.设A=，则A的对应于特征值2的一个特征向量是（ ）。A. B. C. D. 分析：因为，所以A的对应于特征值2的一个特征向量是。即正确选项为D。24.已知为维单位列向量，为的转置，为单位矩阵，若=，则等于（ ）。A. B. C.1 D. 分析：，即正确选项为A。25.设是方程的三个根，则行列式的值等于（ ）。A.1 B.0 C.-1 D.-2分析：根据题意可知，所以，从而即正确选项为B。（2006年）第二部分 数学基础能力测试1. （ ） A . B . C . D.答：C分析：（本题是算术题，考查数的简单运算）2.100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（）人。A .25 B.15 C.5 D.3答：D分析：（本题可以认为是算术题、也可以认为是概率题）作为算术题，解法如下：根基题意，24个没有电脑的人中15个人有手机，因此既没手机又没有电脑的人只有9人，从而在12个没有手机的人中只有3人有电脑。作为概率题，解法如下：设事件A表示从100个学生中任意叫出一人，此人有手机；事件B表示从100个学生中任意叫出一人，此人有电脑。则即这100个学生中有电脑但没有手机的共有3人。3.如右图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB10厘米，则图中阴影部分的面积为（）平方厘米。MNNABA.10 B.12.5 C.20 D.25答：B分析：（本题是平面几何题。考查了圆的面积公式和圆的弦的有关性质）记大圆半径为、小圆半径为，则根据题意可知，所以图中阴影部分的面积为 。4.方程，所有实数根的和等于（ ）。A.2006 B.4 C.0 D.答：C分析：（本题是代数题。考查绝对值概念和一元二次方程的求根公式）当时，；当时，。所以方程的所有实数根的和等于。D5.已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如右图所示，则阴影三角形的面积等于（ ）。48ABCOA. 8 B. 10 C.12 D. 14答：B分析：（本题是平面几何题。考查全等三角形、勾股定理和直角三角形的面积）如图，易知与全等，从而，解得，所以阴影三角形的面积等于。6.复数的共轭复数是（）.A. B. C. 1 D. 答：A分析：（本题是代数题。考查复数的基本概念）由于，所以。7.一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，将一个实心铁球放入该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（）。20cm10cmA. B. cm C. cm D. cm答：D分析：（本题是规范空间几何体的题目。考查圆柱和球的体积公式）将球取出后，假设水面下降了cm，则，解得 ，所以容器中水面的高度为。8.P(a,b) 是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标如右图所示，则的最大值与最小值依次是（）。yA（） D()P(a,b)B(m,q) C(n,q)x0A. B. C. D. 答：A分析：（本题是平面解析几何题。考查直线的斜率）由于过点和原点的直线方程为，即是该直线的斜率。由图可知满足题意最大斜率值是、最小斜率值是。9.一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（）升。A. 2.55 B. 3 C. 2.45 D.4答：B分析：（本题是算术题。考查比与百分数）根据题意，即，解得。10.如右图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于，那么光线与地平面所成的角度是（）。ABA. 15 B. 30 C.45 D.60答：B分析：（本题是平面几何题。考查了椭圆面积公式和特殊角的三角函数值）设半圆的半径为，则半椭圆的一条半轴为，记其另一半轴为。根据题意可知，Rb如图可知度。11.某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别为48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（）种不同的变速比。A. 8 B. 9 C. 10 D. 12答：A分析：本题是算术题。考查两个数的比的大小）由于，所以这种自行车共可获得种不同的变速比。12.在平面上给定线段AB=2，在上的动点C，使得A，B，C恰为一个三角形的3个顶点，且线段AC与BC的长是两个不等的正整数，则动点C所有可能的位置必定在某（）上。A 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线答：C分析：（本题是平面几何与平面解析几何的简单综合题。考查了三条线段构成三角形的条件和双曲线的定义）不妨假设比长，由于AC与BC的长是两个不等的正整数，所以，又，从而。即动点C所有可能的位置必定在某双曲线上。13.桌上有中文书6本，英文书6本，俄文书3本，从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（）。A. B. C. D. 答：C分析：（本题是概率题。考查了等可能事件的概率公式和简单的组合数公式）所求概率为 。14.设n为正整数，在1与n+1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（）。A. B. C. D. 答：A分析：（本题是代数题。考查了乘方运算的性质、等比数列的概念和通项公式）设此等比数列的公比为，则，即，所以。15.设二次函数的对称轴为，其图像过点（2，0），则（）。A. 3 B. 2 C. -2 D. -3答：D分析：（本题是代数题。考查了一元二次函数图像的对称轴和数的简单运算）根据题意，所以，从而。16.设，且导数存在，则（ ）。A. 0 B. C. D. 答：D分析：（本题是一元函数微分学题目。考查倒数概念与复合函数的求到公式）根据导数定义，极限是复合函数在点的导数，所以其值为。17.曲线y= 在（0，2）区间内有（）。A. 2个极值点，3个拐点 B. 2个极值点，2个拐点C. 2个极值点，1个拐点 D. 3个极值点，3个拐点答：A分析：（本题是一元函数微分学题目。考查了函数极值点和拐点的求法）根据易知分别是函数的极大值点和极小值点。由于且在不存在，易判断经过三点时二阶导数都变号，所以这三点都是函数的拐点。18.设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r，在正圆锥的体积最大时，（ ）。A. B. 1 C. D. 答：C分析：（本题是一元函数微分学与几何的简单综合题。考查了勾股定理、圆锥体积公式和比区间上函数的最值问题）圆锥体积为 ，所以由得（易知这时体积最大），从而，故。19.设，则在0，a上方程根的个数为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答：B分析：（本题是一元微积分题。主要考查变限定积分的性质和连续函数的零点存在定理）记，则，所以 至少有一个根。又因为 ，所以只有一个根。20.如右图，曲线表示某工厂十年期间的产值变化情况，设是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的