§3.9_极坐标与直角坐标的互化.doc

39 极坐标与直角坐标的互化 一、教学目标(一)知识教学点掌握极坐标与直角坐标的互化公式，了解互化公式的三个前提及其使用方法(二)能力训练点能熟练进行点的极坐标与直角坐标的互相转化，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的互相转化，初步掌握何时用直角坐标系、何时用极坐标系解决问题(三)学科渗透点极坐标系作为解析几何的一种独持工具有其独到的功能，从中可进行同一问题，可以用不同工具和不同方法去研究，其解决问题的效率和效果也会有不同的思想方法教育二、教材分析1重点：极坐标与直角坐标的互化公式及其使用方法，点与方程的极坐标与直角坐标的互化2难点：极坐标方程化成直角坐标方程时，方程的等价性讨论3疑点：互化公式的三个基本前提，直角坐标方程化成极坐标方程后的同解变形三、活动设计1活动：思考、问题、议论、练习2教具：尺规四、教学过程(一)介绍研究几何学的工具与方法，引入课题几何学是数学的一大主要内容，研究它的方法有欧氏几何法和解析几何法两大类其解析法中，直角坐标系是一大工具，在同样的解析思想下，极坐标系是另一大工具有些问题(如平移、对称)，用直角坐标系解决方便，而另一些问题(如旋转、辐射)，用极坐标系解决方便，如何选择，这首先就需要掌握极坐标与直角坐标之阎的互化关系(二)互化公式极坐标与直角坐标互化公式的三个基本前提是：(1)取直角坐标原点为极点；(2)x轴正半轴为极轴；(3)规定长度单位相同设点M在直角坐标系中的坐标为(x，y)，在极坐标系中的坐标为(，)，如图3-29所示根据三角函数的定义，0时有：根据上式可得：请思考讨论如下问题：(1)若0，上述公式是否仍成立？为什么？(讨论后)学生1答：成立因为M(，)，即M(-，+) -0(2)根据上述公式，由极坐标求直角坐标是不困难的，而由直角坐标求极坐标时，关于有两个解，关于有无穷多解，与如何搭配？(讨论后)学生2答：y)(三)练习讲评3答)教材第131页例2把M点的直角坐标化成极坐标(学生4答)讲评(四)极坐标方程与直角坐标方程的互化化曲线的直角坐标方程F(x，y)=0为极坐标方程，只须将x=cos，y=sin 代入即可请思考讨论，化曲线的极坐标方程F(，)=0为直角坐标方程时，(讨论后)学生5答：立k只能取整数中的奇或偶数集，而且这种代入常常计算复杂，处理方法是：常常是从极坐标方程中演变出cos、sin、2，tg，然教材第131页例3化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为极坐标方程(学生6答)方程(学生7答)讲评：(1)格式、语言、逻辑即极点在C：=2acos上(否则不能除掉)，故=0或=2acos因此，直角坐标方程化成极坐标方程时，注意除掉同解部分使方程简化(板书在(3)后)后者无此要求，扩大了x的范围在e1情况下出现增根，极坐标方程表双曲线右支，而化成直角坐标方程后表双曲线两支，扩大增加了的(x2+y2)=e2(x+p)2等价)因此，化极坐标方程为直角坐标方程时，涉及两边平方、两边乘以、去分母等变形时，都要注意变形的等价性以避免出现增加的图形(板书在(4)后)(五)小结(1)互化公式与互化前提；(2)相关规定与操作方法要点；(3)选择极坐标或直角坐标解决问题的一般依据五、布置作业1教材第138页第8、9题2填空：(3)把极坐标方程2-(1+cos)+cos=0化成直角坐标方程为(x2+y2=1或x2+y2-x=0)解：设椭圆离心率为e，将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程为六、板书设计1 极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫作极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角度，叫点M的极径，叫点M的极角，有序数对(，)就叫点M的极坐标这样建立的坐标系叫极坐标系，记作M(，)若点M在极点，则其极坐标为=0，可以取任意值此时点M的极坐标可以有两种表示方法：(1)0，M(，+)(2)0，M(-，)同理，(，)与(-，+)也是同一个点的坐标又由于一个角加2(nZ)后都是和原角终边相同的角，所以一个点的极坐标不唯一但若限定0，02或-，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了2曲线的极坐标方程)=0来表示，这种方程叫曲线的极坐标方程(2)求曲线的极坐标方程的方法与步骤：1建立适当的极坐标系，并设动点M的坐标为(，)2写出适合条件的点M的集合4化简所得方程5证明得到的方程就是所求曲线的方程(3)三种圆锥曲线统一的极坐标方程过点F作准线l的垂线，垂足为k，以焦点F为极点，Fk的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系设M(，)是曲线上任意一点，连结MF，作MAl，MBFx，垂足分别为A，B设焦点F到准线l的距离|Fk|=p，由|MF|=，|MA|=|Bk|=p+cos，得这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程其中当0e1时，方程表示椭圆，定点F是它的左焦点，定直线l是它的左准线，e=1时，方程表示开口向右的抛物线e1时，方程只表示双曲线右支，定点F是它的右焦点，定直线l是它的右准线若允许0，方程就表示整个双曲线3极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，其直角坐标(x，y)，极坐标是(，)，从点M作MNOx，由三角函数定义，得：x=cos，y=sin注：在一般情况下，由tg确定角时，可根据点M所在的象限取最小角在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度以及从Ox到OP的角度来确定，有序数对（，）就称为P点的极坐标，记为P（，）；称为P点的极径，称为P点的极角。当限制0，02时，平面上除极点以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零 ，极角任意。若除去上述限制，平面上每一点都有无数多组极坐标，一般地 ，如果（，）是一个点的极坐标 ，那么（，2n），（，（2n1），都可作为它的极坐标，这里n 是任意整数。平面上有些曲线，采用极坐标时，方程比较简单。例如以原点为中心，r为半径的圆的极坐标方程为r 等速螺线的方程为。此外，椭圆 、双曲线和抛物线这3种不同的圆锥截线，可以用一个统一的极坐标方程表示。 极坐标 在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，用表示线段OM的长度，表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对 (,)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。 第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的流数法与无穷级数，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，略如我们现在的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努力利于1691年在教师学报上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了直角价值到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把 ,cos ,sin