力学讲稿第5章.doc

第五章 振动与波5-1简谐振动物体在平衡位置附近往返运动叫作振动，或机械振动，如琴弦、秋千等做振动。振动是自然界中广泛存在的现象，并不只限制于机械振动的位移振幅，可以是电流、密度、场强等振幅（围绕一定数值往复变化）。一个复杂的振动总可以分解为简单振动的合成，简谐振动是最简单最基本的振动。用表示某一物理量在时刻的值，如果它能表示为： (1) 运动特征 其中、为常数，这个物理量的运动就称为简谐振动。显然，简谐振动指的是用时间的（正）余弦函数来表示，且振幅恒定的只有一个频率的振动。（像合唱、和弦铃声就不是单一频率的简谐振动）。常数称为简谐振动的振幅，对于机械振动：离开平衡位置最大位移的绝对值。 其它 电流、场强等称为简谐振动的角速度（或角频率、圆频率），它与周期和频率之间的关系为：， ，（频率的2倍） 振幅表明振动范围，角速度（和对应的周期或频率表明振动快慢），但确定振动系统任意瞬时运动状态,还需要，称为简谐振动在时刻的相位。为时的相位，称为初相位。相位比时间容易说明振动处于一个周期中的阶段，相位一旦确定，振动物理量的值即可确定，如图以质点匀速圆周转动，其位矢在Ox轴的投影为例来认识相位：做简谐振动。相位，对应在参考圆上的角度。绕圆一周，投影完成一次全振动，相位也变化。由于 所以，物理量满足方程： （2） 动力学特征 这就是简谐振动的运动微分方程。反之，满足这样方程的运动即为简谐振动。显然，（1）式就是微分方程（2）式的解。为什么说（2）式是简谐振动的动力学特征？证明一个有用的结论：准弹性力（线性回复力）作用下的运动为为简谐振动：如图弹簧末端连一质量为质点， （准弹性力）又由牛顿运动定律：，令，有： ， 此受力运动的关系式就是动力学特征解为：，简谐振动这里，弹簧振子振动周期：例1：以弹簧振子为例来说明简谐振动的能量。质量为的质点在轻质弹簧作用下运动，弹簧常数为，质点作简谐振动，其运动方程为： 其动能： 其中， 势能为： 又，所以， 所以简谐振动的能量： 为一个恒定的量。从而简谐振动的振幅满足 系统的动能和势能是随时间变化的，而且在任意时刻，二者的值是不同的。下面计算其周期内的平均值。 同样计算得： 一般而言，振动的频率都比较大，能量主要来自频率的数值。由上面计算，一个简谐振荡子，其动能平均值与势能平均值是相等的。这个结果，对研究分子平均能量是十分有用的。在统计物理中，分子的能量是按自由度数均分的，当物体处于平衡状态时，分子的每个自由度对应的平均能量为，这里的称为玻尔兹曼常数，是物体的温度。除了单原子分子，其它分子都有振动自由度，有振动就有势能，而振动动能平均值与势能平均值又是相等的，所以分子中的每一个振动自由度对应的能量为5-2振动的合成1.同方向（一维）同频率两简谐振动的合成 ： 沿ox方向的两个振动： 相位或位相，时，初始相位分别为和如何将振幅取正数？例：同一个点参与两个振动，相加： 令 这时， 其中， （振幅取正） （取主值，唯一）上述的合成也可以用几何的方法进行。把两个振动看成以角速度逆时针旋转的两个矢量、在轴上的投影，振动合成可以看成们合矢量在轴上的投影，的大小亦能保持恒定，并同样以角速度旋转。如图，画出时二分振动的旋转矢量和，它们与Ox坐标轴的夹角分别等于和。由矢量、合成为合振动，由余弦定理：注意：，由正切函数的定义， 矢量在轴上的投影： 得到同样结果。2.互相垂直（二维）同频率简谐振动的合成（椭圆形的振动）： （1） （2） 不在同一方向，不便直接相加，计算合成振动的轨迹：令则（2）式变为： (3)又由（1）有： 由（1）和（3） 则 两变同乘以 ，并注意到： ， 即： 二次曲线，由于振动的振幅为有限值(不能趋于无穷的二次曲线只有椭圆)，所以上述轨迹方程为椭圆。 若初相位差或，或 方程为： （线振动）为直线段，初相位差接近或，椭圆越来越扁成为一条直线段（特殊情况）。若初相位差，方程为： （圆）由于互相垂直同频率线性振动，合成椭圆振动。也可将椭圆振动分解为两垂直向线性振动。下面解决椭圆振动的方向：定义矢量，单位质量的角动量：（在o-xyz直角右手系，沿0z轴 ， 转动。） 取，则在正向，逆时针转动。，则在向，顺时针转动，课本P265：，逆时针转动；，顺时针转动。（合成振动图怎么来的？）光学上椭圆偏振运动的应用广泛，如：立体电影阿凡达IMAX版 左 右 光波的振动只通过的光 同理该方向分子排列长 行成相位差，大脑合成有相位差的偏振动，感受立体电影。例2：光波即为电磁波，一般用其电场强度来表示。现有一单色光波，在平面上振动，其在、方向的分量分别为： ，求其合成运动的轨迹并说明其运动方向。解：二振动的位相差：运动轨迹为椭圆：即：而 椭圆旋转方向为逆时针方向，这是一个左旋的椭圆偏振光。3同方向不同频率简谐振动的合成（差拍） 振幅和初相位相同。 （和差化积） 这个合振动可以看成是以为振幅的振动，由于的周期比的周期长得多，这是一种振幅也周期性缓变的简谐振动。当时，振幅的缓变现象越明显，这种振幅时大时小周期性变化的现象，叫做拍。得出振动如P266 6-21图示：的绝对值才代表振幅的变化。如： 振幅取正数， 则这里振幅变化（拍）的周期：， 令： ，称为拍的角频率， 又 所以， ， 拍频则 用标准音叉来校钢琴键音：音调（频率）有微小差别会听见拍音，调整到拍音消失，键音校准与音叉频率一致。 也能根据拍频和已知的一振动频率，计算另一振动频率。作业10（1）：P311 6-21，6-22，6-234.互相垂直不同频率简谐振动的合成（李萨育，Lissajou(法国) 图形） 此类振动合成的轨迹(花样)：与频率之比和两者的相位都有关系，很难用数学式子表达。先看方向振动周期：方向振动周期：对于周期函数：，为正整数，也是周期。显然，由周期函数性质，也分别是方向，方向振动周期，其中，是正整数，如果存在，使得（公倍数），则就是方向，方向振动的共同周期， 也即有：， 方向经过都回到出发点（闭合）。所以当两者频率成整数比，运动是周期性的，合成振动的轨迹是一个封闭图形这种封闭的图形称为李萨育图形。对比，两相互垂直同频的振动合成：椭圆（包含圆、线段），可用数学式表达； 两相互垂直不同频（但频率成整数比）的振动合成：李萨育图形表示。P267李萨育图形满足： 或 由于轨迹的图形花样与分振动频率有关，可在轨迹上 用数点法求频比:如方向上的振动，一次全振动，由于往返，对同一坐标取得2个点相同，次全振动就有点相同，同理方向的次全振动也有点对同一坐标相同，则。此关系常应用于：由轨迹图形（数点可直接当作）与已知一方向振动角频率（周期），求另一方向的角频率（周期）。如： 数点时注意：若所取直线过交点，一来一返，要多加一点，（建议不取过交点的直线）。 2 4 2 1 2 1，这里三个图形都为2。频比一样，但图形不一样，源于初始相位不同。注意：不闭合的情况，两个振动不存在公共的周期，即不存在正整数、，使或，即频比不为整数比，如频比为无理数时，合成振动轨迹永远不走重复的路，为无周期不稳定的曲线。 5-3 波动方程和简谐平面波1.波的概念 一个振动物理量的振动状态在介质中的传递称为波或波动。以沿轴方向传递的波为例进行讨论：设开始时在原点有一物理量随时间振动，若振动沿正方向传递，则在坐标点处， 是经过时间间隔从坐标原点传递过来的，或者说，在点时刻的这个物理量等于在原点时刻的物理量。从而沿正方向传递的波满足： （由振动得波动） 若振动沿负方向传递，是经过时间间隔从坐标原点传递过来，在点时刻的这个物理量等于在原点 时刻的物理量。 即满足：波在一维介质中，只有正、反两个传波方向。但在高维介质里，波动一般可以沿不同方向传播，远处介质是受近处振动的波及而振动起来，其步调，即相位，自然比近处落后。前面的讨论中，可以看出，上面所说的波速实际是振动相位传递的速度，因此这个速度又称为相速度。从振源出发，波动同时到达的地点，振动的相位都相同，同相位各点所组成的面，叫做波面。离波源最远的波面称为波前。表明波动传播方向的射线，叫做波射线，简称波线。波前（或波面）为球面的波称为球面波。由点源产生。波前（或波面）为平面的波称为平面波。由平面波源产生。此外，根据振动方向与波的传播方向一致或振动方向与传播方向垂直，可将波分为纵波或横波，以及纵、横振动合成为椭圆运动的混合波。 2、波动方程从一维波动开始推导，由前面沿轴正向传递的波有： 对时间求偏导数，一阶： 二阶： 对求偏导数，一阶： 二阶： 从而得到， 一维波动方程，类似形式要知道是波传播的的波动方程，像电磁场传播的三维波动方程。 ， （直角坐标系梯度：,如，一维势运动）例：一沿轴传播的电磁波，波动方程为：，其中、是媒质的磁导率和介电常数，则电磁波波的波速 解：由波动方程：则： 作业10：一沿OX轴传播的声波，波动方程为：，其中是空气的密度，p是空气的压强，为绝热系数，则声波的波速 3简谐平面波由，则沿正向传播的简谐平面波为： 注意到振动的相位每增加一个所需的时间为，而在这个周期内振动状态传播出去的距离叫做波长，波长表征了与振动时间周期对应的空间传播周期性。，波动方程一般表为， 令 ，称为（角）波数，显然，它等于单位长度上分布的波的数目的倍。 这是沿轴正向传播的平面简谐波常用表达式。其中，显然代表单位时间里相位的变化，随时间推移相位增加；而代表单位距离相位的变化，随传播距离越远相位越滞后于波源处。变为矢量表达：如图在处的等相平面（即波面）上任一点， 对坐标原点的位矢为，且轴的单位矢量为， 令 称为波矢，表示沿波传播方向单位距离相位的变化，其方向即为波的传播方向。 则，所以空间一点，位矢为处的平面简谐波可以写为： 上式不仅能表示沿轴的传播的平面波，而且能表示沿任意方向的平面波。定义了波矢之后，对波的处理变得十分方便。例如电磁波，电波的振动方向即电场强度矢量的方向，而磁波的振动方向即磁感应强度的方向，可以证明，这样，可以判定，所以，电磁波为横波。 单色平面电磁波示意图 5-4 介质表面反射波的相位及方程波在均匀介质中传播时是不反射的，当波从一种介质进入另一种介质时，在介质的界面上会发生反射和透射。反射波与入射波的频率是相同的，但是由于介质的不同，入射波与反射波的相位出现了两种情况： 一种情况是波从“密”的介质进入“疏”的介质时在界面上的反射，相当于（课本P288）端点自由的情况，这时入射波与反射波具有相同的相位。即：设入射波沿正向传播表为：则反射波沿负向传播表为： 在处反射 所以， 在波动的研究中，例如光学中，研究频率相同的波的迭加是一个重要的内容。要得到两个频率相同的光源，其中的一个办法就是让一个光源的光波在介质表面反射，入射光和反射光形成两束频率完全相同的光波。第二种是波从“疏”的介质进入“密”的介质，相当于（课本P288）端点固定的情况。例如光波从空气进入玻璃，两端固定的弦线，也属于这种情况。这时在界面上入射波和反射波振动方向相反，相位相差。设入射波在处发生反射，入射波的相位为， 而反射波的相位为： 波的相位跃变，这种现象称为半波损失。如图，相当于波本来还应继续传播半个波长后再反射，而实际中这半个波长不见了。同理，入射波为：反射波为：在处反射，反射波的相位为： 所以， 例： 一光波从真空进入玻璃，入射角为零，若入射波在玻璃表面的相位为，则反射波的相位为： 5-5 多普勒效应当波源与波的接收器发生具有相对速度时，就发生观测频率与波源频率不一致的现象，称为多普勒效应。这是一个普遍存在的现象，一列火车迎面而来，气笛声的音调变高，火车离去时，气笛声的音调降低，变得低沉，这都是多普勒效应产生的现象。为叙述简便，波源S(ource),接收器目标D(estination)。当S和D都不动时，波速，则频率，表示单位距离上波的数目，相当于单为时间波行进的距离，所以频率也表示单位时间通过接收器的波的数目。下面分析多普勒效应的情况。一波源静止接收器运动情形a) D朝S以速率运动，由于波源没有运动，从波源出发的波，频率、波长都不变，因而波速也没有变化，但是由于观察者的运动，这时波相对于的速度为：单位时间内，D接收到波的数目，即接收频率为：收到的波的频率增高，尖。b) D背离S以速率运动，波相对于的速度为：，接收频率为：收到的波的频率变低，沉。二波源运动接收器静止情形a) D朝S以速率运动，由于波源没有运动，从波源出发的波，频率、波长都不变，因而波速也没有变化，但是由于观察者的运动，这时波相对于的速度为：单位时间内，D接收到波的数目，即接收频率为：收到的波的频率增高，尖。b) D背离S以速率运动，波相对于的速度为：，接收频率为：收到的波的频率变低，沉。 图6-13-1下面，对多普勒效应作出简单的分析。设为波源，为观察者（波的接收器）。下面分析与存在相对运动，和的速度在与连线上的情况。 当和都不动时，波的速度为，频率为，波长为如图6-13-1（1）单位时间波行进的距离为，长度上的波在单位时间内都为所接收，因此，长度上波的数目即为观察者接收到的波的频率： （6-13-1）上述计算也可以换一种方法进行。由于波的行进速度为，而不动。由运动的相对性，如图6-13-1（2）所示，可以设想波“凝固”不动，而相对于波以速度由至运动，显然，在单位时间内，从点到达点，行进的距离仍为，在行进中接收到的波的数目即为频率。 图6-13-2 现在看波源不动，以速率向波源运动的情况，见图6-16-2。由于波源没有运动，从波源出发的波，频率、波长都不变，因而波速也没有变化，但是由于观察者的运动，这时波相对于的速度为：，若把波看成“凝固”不动，对波以速度从出发向运动，在单位时间内从运动到，如图6-13-1（2）所示，在长度中波的数目为： 这些波在单位时间内都为所接收，所以即为所接收到的波的频率。把（6-13-1）式代入上式，得： （6-13-2）从（6-13-2）式可以看出，收到的波的频率增高。对于离开波源运动的情况，作完全类似的分析得出相应的结果，也可把（6-13-2）式中的的速度换为，而得出结果，这时接收到的频率为： （6-13-3）（6-13-2）式和（6-13-3）式可以合并为： （6-13-4）从上面的分析，可以看出在波源不动时，观察者接收到的波的频率的增加或减小，是由于观察者的运动导致在单位时间内接收到的波的数目增加或减小所致，与波源没有关系，波源发出的波并没有什么变化。波相对于介质的传播速度是恒定的，但是由于观察者对介质存在相对速度，从而引起波对观察者传播速度的改变，导致观察者接收频率的变化。现在看观察者不动，波源向运动或远离运动的情况。 图6-13-3现看向运动。设波源沿直线向运动的速度为 。在前面的章节中已经讨论过波在介质中的传播速度，介质中的波速取决于介质的属性和介质的状态，与波源状态无关。而对于介质没有相对运动，因此，当向运动时，波在媒质中的传播速度仍为，没有什么变化。但是由于波源的运动，波的波长发生了变化。如图（6-13-3），某时刻从波源出来的一个球面波，经过一个周期的时间，波到达如图6-13-3中球面的位置。这时波面距波源原来的位置的距离为，但是这时由于波源向沿直线向观察者运动，前进距