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线性规划习题课 李堡中学范阳 1 画出不等式 组 表示的平面区域 y 2x 1 4x 3y 9x 2y 4 说明 划分区域时 找好特殊点 注意不等号 一 练习引入 复习概念 解 画出满足x y的条件所表示的区域 即五边形OABCD 如图 z x 2y 其表示斜率为的一组平行直线系 纵截距为b z 2 从图上可知 当直线经过c时 b有最大值 目标函数线性目标函数 最优解 可行域可行解 1 咖啡屋配制两种饮料 成分配比和单价如下表 每天使用限额为奶粉3600g 咖啡2000g 糖3000g 若每天在原料的使用限额内饮料能全部售出 应配制两种饮料各多少杯获利最大 二 例题选讲 解 设每天配制甲种饮料x杯 乙种y杯 则线性约束条件为 9x 4y 36004x 5y 20003x 10y 3000画出可行域 阴影部分 即五边形ABCDO 目标函数z 0 7x 1 2yy x z从图可知 当直线l过B点时 y轴截距最大 即z最大 9x 4y 3600 x B 4x 5y 2000y 当x y 时 Zmax 0 7x 1 2y 390 3元 10 12 正确答案 1 线性约束条件为 9x 4y 36004x 5y 20003x 10y 3000 x Ny N 当l过点C时 y轴截距b最大 即z最大 当x 200 y 240时 Zmax 0 7 200 1 2 240 428 元 答 每天应配制甲种饮料200杯 乙种饮料240杯时 获利最大 y x 2 已知函数f x ax2 c 满足 4 f 1 1 1 f 2 5 求f 3 的取值范围 4 f 1 1 4 a c 10 a 3 1 f 2 5 1 4a c 51 c 7 解 依题意 而所求f 3 9a c0 9a 27 7 c 1 1 f 3 26 7 9a c 26 正解一 依题意得 f 1 a cf 2 4a c 可知 f 3 9a c 5 3f 1 8 3f 2 4 f 1 1 1 f 2 5 5 3 5 3f 1 20 3 8 3 8 3f 2 40 3 1 5 3f 1 8 3f 2 20 即 1 f 3 20 正解二 线性约束条件 目标函数 t f 3 9a c 4 a c 1 1 4a c 5 作出约束条件的可行域 为平行四边形ABCD 平行直线系t 9a c c 9a t 斜率为9 a c 2 2 4 6 4 6 2 2 8 4 4 o 说明 约束条件变化时要用等价变换 D A B C 3 7 当平行直线过A 0 1 时 tmin 9 0 1 1过点C 3 7 时 tmax 9 3 7 20 1 f 3 20 四 课堂小结 1 通过例题更清楚地理解了线性规划相关概念 2 正确作图 充分应用数形结合思想解题 3 求解目标函数时 一定要找到几何支撑点 4 作业要严谨细致 严格规范 五 作业 课课练 有一批同规划钢条 有两种切割方式 可截成长度为a的2根 长度为b的3根 或截成长度为a的3根 长度为b的1根 练习 3x y 45 15 30 A 85 7 60 7 tmin x y 145 7 分析 a长度的总数要不少于50根 b长度的总数不少于45根 其目标函数为t x y 求其最小值 O 所求钢条数是整数 故所求x y为整数 即找可行域内的整数点 用平行找解法 l向右上方平移 在可行域中最先经过整数点 12 9 13 8 此时t 21 即为最小值 由tmin 145 7 当t 21 为什么不取不足近似值 时 平行直线经过可行域且与x y 20最靠近 法二 调整优值法 当过点B 12 9 C 13 8 时t 21 即为最小值 答 应满足第一种切割与第二种切割之比为4 1 当第一种切割为12根 第二种切割9根或第一种切割为13根 第二种切割为8根时 钢条用量为21最省 3x y 45 O 15 30 当过 3 1 时 tmax 9 3 1 26 得 当过 0 7 时 tmin 9 0 7 7 显然 当直线系C 9a t在上述可行域中变化时 a c 2 2 4 6 4 6 2 2 8 4 4 o