云南中考数学《专项三：压轴题》精教学案类型④　直角三角形存在问题探究.doc

类型直角三角形存在性问题探究,备考攻略)1“某图形(直线或抛物线)上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题2“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题1利用勾股定理计算，在解一元二次方程时计算错误2分类讨论漏解3利用相似三角形解决问题不熟练1若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于1)，得到一个方程，解之即可. 2若夹直角的两边中有一边与y 轴平行，此时不能使用斜率公式补救措施是：过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定3直接利用勾股定理进行计算，当已知直角三角形的三边中任意两边的长，可以直接求第三边的长4利用勾股定理建立方程：勾股定理是表示三边之间的关系，只有在两边确定的情形下，才可以直接利用公式求第三边，但有时题目的条件，却不能满足这点，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后通过列方程求解5利用勾股定理判断三角形是否为直角三角形，当三角形三边关系满足勾股定理时，三角形一定是直角三角形. 6将一般的几何问题构造出直角三角形，再用勾股定理求解7建立直角三角形模型8根据条件特点，选用适当的锐角三角函数解决问题1分别表示出构成直角三角形的三条边的平方，再利用勾股定理分类讨论符合题意的动点的值2如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解,典题精讲)利用勾股定理建立方程【例1】(2017通辽中考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx2过点A(2，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线yax2bx2的函数解析式；(2)若点D在抛物线yax2bx2的对称轴上，求ACD的周长的最小值；(3)在抛物线yax2bx2的对称轴上是否存在点P，使ACP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的函数解析式；(2)由轴对称的最短路径得：因为B与C关于对称轴对称，所以连接AB交对称轴于点D，此时ACD的周长最小，利用勾股定理求其三边相加即可；(3)存在，当A和C分别为直角顶点时，画出直角三角形，设P(1，y)，根据直角三角形相似列比例式可得P的坐标【答案】解：(1)把点A(2，0)，B(2，2)代入抛物线yax2bx2中，解得抛物线函数解析式为：yx2x2；(2)yx2x2(x1)2，对称轴是直线x1，如图，过B作BEx轴于E，C(0，2)，B(2，2)，对称轴是直线x1，C与B关于直线x1对称，CDBD，连接AB交对称轴于点D，此时ACD的周长最小，BE2，AE224，OC2，OA2，AB2，AC2，ACD的周长ACCDADACBDADACAB22.答：ACD的周长的最小值是22.图(3)存在分两种情况：当ACP90时，ACP是直角三角形，如图.过P作PGy轴于G，设P(1，y)，则CGPAOC，CG1，OG211，P(1，1)；图当CAP90时，ACP是直角三角形，如图，设P(1，y)，则PEAAOC，PE3，P(1，3)综上所述，ACP是直角三角形时，点P的坐标为(1，1)或(1，3)图利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解【例2】(2016昆明中考)如图，对称轴为直线x的抛物线经过B(2，0)，C(0，4)两点，抛物线与x轴的另一交点为A.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；(3)如图，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图图【解析】(1)由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；(2)作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；(3)画出符合条件的Q点，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；在直角COB和直角QMB中利用正切和勾股定理求出即可【答案】解：(1)抛物线的对称轴为直线x，且抛物线经过B(2，0)，A(1，0)，设抛物线的解析式为：ya(x1)(x2)(a0)，把C(0，4)代入抛物线ya(x1)(x2)，42a，a2，y2(x1)(x2)，抛物线的解析式为：y2x22x4；图(2)如图，设点P(m，2m22m4)，过点P作PDx轴，垂足为点D，SS梯形PCODSPDBm(2m22m44)(2m22m4)(2m)2m24m42(m1)26，20，当m1时，S有最大值，则S最大6；(3)存在这样的点Q，使MQC为等腰三角形且MQB为直角三角形理由：分以下两种情况：图如图所示，当BQM90时，CMQ90，只能CMMQ.设直线BC的解析式为：ykxb(k0)，把B(2，0)，C(0，4)代入得：解得直线BC的解析式为：y2x4，设M(m，2m4)，则MQ2m4，OQm，BQ2m，B(2，0)，C(0，4)，OB2，OC4，在RtOBC中，BC2，OCAB，MQAB，MQOC，BMQBCO，即，BM(2m)2m，CMBCBM2(2m)m，CMMQ，图m2m4，m48.Q(48，0)；如图所示，当QMB90时，CMQ90，只能CMMQ，设M(m，2m4)，在RtCOB和RtQMB中，tanCBOtanMBQ2，由知BM2m，MQCMm，tanMBQ2，m，M.BM2m，MQm，BQ，OQBQOB2，Q，综上所述，Q点坐标为(48，0)或.(2017内江中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴为直线x1.(1)求抛物线的解析式；(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由解：(1)点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴为直线x1.A(2，0)，把点A(2，0)，B(4，0)，C(0，3)，分别代入yax2bxc(a0)，得解得抛物线的解析式为yx2x3；图(2)设运动时间为t s，则AM3t，BNt.MB63t.B(4，0)，C(0，3)，OB4，OC3，在RtBOC中，BC5.如图，过点N作NHAB于点H.NHCO，BHNBOC，即，HNt.SMBNMBHN(63t)tt2t(t1)2