练习题30道(附答案)初二上.doc

1已知：如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE具有公共顶点A，连接CD，BE，交于点P.（1）观察度量，的度数为.（直接写出结果）（2）若绕点A将ACE旋转，使得，请你画出变化后的图形.（示意图）（3）在（2）的条件下，求出的度数.2在RtABC中，ACB=90，A=30，BD是ABC的角平分线， DEAB于点E（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作BMG=60，MG交DE延长线于点G请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作BNG=60，NG交DE延长线于点G试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由3.已知：如图，在ABC中，如果A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且DCB=EBC=A。求证：BD=CE4已知：如图，ABC中，AC=BC，ACB90，将线段CB绕点C旋转60得到， ACB的平分线CD交直线于点D，连结DB，在射线上截取DM = DC（1）在图1中证明：；（2）若AC=，分别在图1、图2中，求出的长（直接写出结果）5请阅读下列材料：问题：将一副直角三角板（RtABC和RtDEF）如图1所示的方式摆放.其中ACB=90，CA=CB，FDE=90，O是AB的中点，点D与点O重合，DFAC于点M，DEBC于点N. 探究线段OM与ON的数量关系.小聪同学的思路是：联结OC，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1） 直接写出上面问题中线段OM与ON的数量关系；（2） 将这幅直角三角板如图2所示的方式摆放. 使点D落在BA的延长线上，DEAC，FD的延长线与CA的延长线交于点M，BC的延长线与DE交于点N. 点O是AB的中点. 联结ON、OM、MN. 请你判断线段OM与ON的数量关系和位置关系，并证明你的结论.6（1）已知：如图1，在ABC中，A=90，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，EDDF，联结EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；图1图2（2）已知：如图2，A=120，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，EDDF，联结EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明.7在ABC中，已知D为直线BC上一点，若.（1）当D为边BC上一点，并且CD=CA，时，则AB _ AC（填“=”或“”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA”变为“CD=AB”，且的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；解：（3）若CD= CA =AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围.（不写解答过程，直接写出结果） 8阅读下列材料： 如图，在四边形ABCD中，已知，.求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作交BC的延长线于点E，则AB=AE，.在与中， ，得.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形ABCD中，若，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由.9已知，以AC为边在外作等腰，其中AC=AD.（1）如图1，若，AC=BC，ADBC，则 ；（2）如图2，以A为顶点AB为边在外作=60，若，是等边三角形， AB=3，BC=4. 求BD的长；10如图，在ABC中，AB=AC， P为ABC内一点，且BAP=70，ABP=40，（1）求证：ABP是等腰三角形；（2）连接PC,当PCB=30时，求PBC的度数.11如图，在ABC中，ACB90，若把ABC沿直线DE折叠，使ADE与BDE重合（1）当A35时，求CBD的度数（2）若AC 4，BC 3，求AD的长（3）当AB m（m 0），ABC 的面积为m +1时，求BCD的周长（用含m的代数式表示）ABCDE12数学课上，李老师出示了如下框中的题目.DABCE 在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC,如图.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由. 小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB（填“”,“”“”或“=”）.（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系会改变吗？请说明理由.28.如图，在ABC中，AB=AC=2，B=40，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作ADE=40，DE交线AC段于E.（1）当BDA=115时，BAD= , DEC= 点D从B向C运动时，BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，ABD与DCE全等吗？请说明理由；（3） 在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA的度数.若不可以，请说明理由. 29.解决下面问题：如图，在ABC中，A是锐角，点D，E分别在AB，AC上，且，BE与CD相交于点O，探究BD与CE之间的数量关系，并证明你的结论小新同学是这样思考的：在平时的学习中，有这样的经验：假如ABC是等腰三角形，那么在给定一组对应条件，如图a，BE，CD分别是两底角的平分线（或者如图b，BE，CD分别是两条腰的高线，或者如图c，BE，CD分别是两条腰的中线）时，依据图形的轴对称性，利用全等三角形和等腰三角形的有关知识就可证得更多相等的线段或相等的角.这个问题也许可以通过添加辅助线构造轴对称图形来解决 图a 图b 图c请参考小新同学的思路，解决上面这个问题.30. 如图，在ABC中，AB=AC，请你在图中，分别用两种不同方法，将ABC分割成四个小三角形，使得其中两个是全等的不等边三角形(不等边三角形指除等腰三角形以外)，而另外两个是不全等的等腰三角形请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数，在每个等腰三角形中标出相等两底角度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法，但要保留作图痕迹，若经过图形变换后两个图形重合，则视为同一种方法）图1 图2 参考答案 1.解：（1）BPC的度数为120，理由为：证明：ABD与ACE都是等边三角形，DAB=ABD=CAE=60，AD=AB，AC=AE，DAB+BAC=CAE+BAC，即DAC=BAE，在DAC与BAE中，ADABDACBAEACAEDACBAE（SAS），ADC=ABE，ADC+CDB=60，ABE+CDB=60，BPC=DBP+PDB=ABE+CDB+ABC=120；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）ABD与ACE都是等边三角形，ADB=BAD=ABD=CAE=60，AD=AB，AC=AE，DAB+DAE=CAE+DAE，即DAC=BAE，在DAC与BAE中，ADABDACBAEACAEDACBAE（SAS），ADC=ABE，ABE+DBP=60，ADC+DBP=60，BPC=BDP+PBD=ADC+DBP+ADB=120图31234567ADGCBNEH2.（1）证明：在RtABC中，ACB=90，A=30，, BC= BD平分ABC，.DA=DB DEAB于点EAE=BE=BC=BE. BCE是等边三角形. （2）结论：AD = DGDM （3）结论：AD = DGDN理由如下：延长BD至H，使得DHDN . 由（1）得DA=DB，DEAB于点ENDH是等边三角形 NH=ND， ,.即.在DNG和HNB中，DNGHNB（ASA）DG=HB. HB=HDDB=NDAD,DG= NDAD.AD = DGND.3. 证法一：如图1，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点.图1，BC为公共边，, BF=CG,BDF=ABE+EBC+DCB，BEC=ABE+A，BDF=BEC, , BD=CE. 证法二：如图2，以C为顶点作FCB=DBC，CF交BE于F点.图2，BC为公共边，, BD=CF，BDC=CFB,ADC=CFE,ADC=DCB+EBC+ABE，FEC=A+ABE，ADC=FEC,FEC=CFE,CF=CE,BD=CE. 4. （1）证明：在图1中，连结CM由旋转可知： ，=60AC=BC，ACB90，150=15CD平分ACB，ACD=BCD=45CDM=ACD +CAD=60DM = DC，CDM是等边三角形CM=CD，DCM=6045在和CDB中， CDB（SAS） （2）在图1中，在图2中， 5. 解：（1）OM=ON（2）OM=ON，OMON 证明：连接OC. AC=BC，O是AB中点，ACB=90， OA=OB，COAB，ACO=BCO=45. CAB=CBA=45.CAB=ACO,B=BCO. OC=OA=OB. MAO=NCO=135 DEMC，FDE=90,DMC=FDE=90,DNM=NMC.CAB=DAM=45，MDA=DAM=45.DM=AM.NDM=NCM=90,MN=MN,DNMCMN. DM=NC.AM=NC.AMOCNO.OM=ON,MOA=NOC.分NOC+NOA=90,MOA+NOA=90.OMON. 6（1）证明：延长FD到G使GD=DF，联结BG，EG D为BC中点BD=DCFDC=BDGBDGCDF BG=FC C=GBDEDDFEG=EFA=90，ABC+C=90，ABC+GBD=90，即EBG=90，线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形；BG=FC ,EG=EF线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形； （2）当线段FC=BE时, 线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，证明：延长FD到G使GD=DF，联结BG，EGD为BC中点BD=DCFDC=BDGBDGCDF BG=FC C=GBDEDDFEG=EFA=120，ABC+C=60，ABC+GBD=60，即EBG=60，当线段BG=BE（或BE=EG,BG=GE）时，BE、BG、EG能构成一个等边三角形；EG=EF，BG=FC当线段FC=BE(或BE=EF,EF=FC)时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形7. 解：（1）= （2）成立. 解法一： 解法二：如图，作，交于点. ，. （3）解：()当D在线段BC上时，()（取等号时B、D重合）. ()当D在CB的延长线上时，()（取等号时B、D重合）. ()当D在BC的延长线上时，(). 8. 解：相等 1分证明:作AE=AB交BC延长线于E 2分 B=E DAC=ECA 3分B=DD=E4分AC=CADACECA 5分 CD=AECD=AB 6分说明：辅助线也可延长BC到E,使得EC=AD,联结AE。9. 解：（1）45； .2分 （2）如图2，在AM上截取AE=AB，连结BE和CE. 是等边三角形,AD=AC，=60.=60,+=+.即=.在和中AE=AB=AC=AD .3分EC=BD.=60，AE=AB=3,是等边三角形，=60, EB= 3， .4分,.EB=3，BC=4,EC=5.BD=5.5分 10. (1)证明：在PAB中，BAP70，ABP40，APB180-BAP-ABP70. APBBAP70. ABBP，即ABP是等腰三角形. 1分(2)以BC为边作等边BCE,连接EA并延长交BC于点M,则EB=EC=BC，BECEBCBCE60. EB=EC，点E在BC的中垂线上.同理点A也在BC的中垂线上.EMBC且BM=BC. 2分延长CP交BE于点N.BCE60，PCB30，PCE30.PCBPCE.又等边BCE，CNBE且BN=BE.BM= BN. 3分在RtAMB和RtPNB中，BM=BN， AB=BP， RtAMBRtPNB（HL）. AM=PN.EM=CN，EM-AM=CN-PN. 即EA=CP.在ABE和PBC中，AB=BP， BE=BC，EA=CP， ABEPBC（SSS）.ABE=PBC. 5分ABP=40，PBC=(EBC-ABP)=10. 6分11. 解： （1）20 1分（2）设ADx，由已知BDx；CD4-x.在BCD中，C=90，根据勾股定理,得x2=(4-x)2+32 2分 解得x. AD 3分（3）设ACb，BCa， 由已知m2=a2+b2，且4分 可求出a+b=m+2. 5分 由已知a+b即为BCD的周长， 所以BCD的周长为m+2. 6分12. 解： （1）= 1分（2）证明：在等边ABC中，ABC=ACB=BAC=60，AB=BC=AC， EFBC，AEF=AFE=60=BAC，且CEF=ECD,AE=AF=EF， ABAE=ACAF，即BE=CF ED=EC，EDB=ECB，CEF=EDB,ABC=EDB+BED=60，ACB=ECB+FCE=60， BED=FCE， DBEEFC， DB=EF， AE=BD 4分 （3）1或3 6分（此空只填写一种情况不得分）13. 解(1) 等腰直角三角形 1分 (2) DE=AD+BE； 2分 证明：如图2，在RtADC和RtCEB中，1+CAD=90，1+2=90， CAD=2又AC=CB，ADC=CEB=90，RtADCRtCEB DC=BE，CE=AD，DC+CE=BE+AD， 3分即DE=AD+BE(3) DE=BE-AD 4分 如图3，RtADC和RtCEB中，1+CAD=90，1+2=90， CAD=2，又ADC=CEB=90，AC=CB， RtADCRtCEB，DC=BE，CE=AD，DC-CE=BE-AD， 5分1ABCDE图12MNABCDE图212ABCDEMN图312 即DE=BE-AD14. 证明：连结 1分 BAC90 为BC的中点ADBC BDAD2分BDAC45又BEAFBDEADF（SAS）3分EDFD 4分即DEF为等腰直角三角形若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示连结AD 1分ABAC BAC90 D为BC的中点 ADBD ADBC 2分DACABD45DAFDBE1353分又AFBEDAFDBE（SAS） 4分FDED FDAEDB 5分EDFEDBFDBFDAFDBADB90DEF为等腰直角三角形 6分15. 解（1）猜想：AE=GC 1分（2）答：AE=CG成立. 证明： 四边形ABCD与DEFG都是正方形， AD=DC，DE=DG，ADC= =EDG=90. 1+3=2+3=90. 1=2 . 4分 ADECDG . AE=CG . 5分（3）延长AE，GC相交于H，由（2）可知5=4.又 5+6=90，4+7=180-DCE=90， 6=7. 又 6+AEB=90， AEB=CEH. .6分 CEH+7=90. EHC=90. AEGC . .7分16. 解：（1）B=D=90在RtABC和RtADC中，ABADAC=ACRtABCRtADC（HL），BAC=DAC，而BAD=60，BAC=30，BC=10AB=10S四边形ABCD=2SABC=21010=100故答案为100（2）如图，BAD=60，AB=AD，把ADC绕点A逆时针旋转60得到ABC，ABC=D，AC=AC，CAC=60ABC+D=180，ABC+ABC=180，C点在CB的延长线上，而AC=AC，CAC=60，ACC为等边三角形，S四边形ABCD=SACC=AC2=10017解：（1）如图，延长CD到点E使DE=CD，连接BE交AD于点P PB+PC的最小值即为BE的长（2）过点E作EHAB，交BA的延长线于点H A =ADC = 90， CDAB AD=2， EH=AD=2 CDAB， 1=3 BC=2CD,CE=2CD， BC= CE 1=2 3=2 ABC = 60， 3=30 在RtEHB中，H=90， BE=2HE=4 即 PB+PC的最小值为418解：（1）在AB上截取AG=AF AD是ABC的角平分线，FAD=DAG 又AD=AD，AFDAGDAFD=AGD，FD=GDFD=BD，BD=GD，DGB=B，B+AFD=DGB+AGD=180（2）AE= AF+FD 过点E作DEH=DEA，点H在BC上B+2DEA=180，HEB=BB+AFD=180，AFD=AGD=GEH，GDEHGDE=DEH=DEGGD=GE又AF=AG，AE=AG+GE=AF+FD 19. 解：（1）45； （2）如图2，以A为顶点AB为边在外作=60，并在AE上取AE=AB，连结BE和CE. 是等边三角形, AD=AC，=60. =60, +=+.即=. EC=BD. =60，AE=AB=3, 是等边三角形， ，EB=3. , .图1 ，EB=3，BC=4, EC=5 BD=5. 20解：（1）如图1ABC中，AB=AC，BAC=30，ABC=ACB=75DB=DC，DCB=30，DBC=DCB=301=ABCDBC=7530=45 AB=AC，DB=DC，图2AD所在直线垂直平分BCAD平分BAC2=BAC=15 ADE=12 =4515=60 证明：（2）证法一：连接AM，取BE的中点N，连接AN（如图2）ADM中，DM=DA，ADE=60，ADM为等边三角形 ABE中，AB=AE，N为BE的中点，BN=NE，且ANBEDN=NM BNDN =NENM，即 BD=MEDB=DC，ME = DC 图3证法二：连接AM（如图3）ADM中，DM=DA，ADE =60，ADM为等边三角形 3=60AE=AB，E=1=454=3E=6045=152=4在ABD和AEM中， 1 =E， AB=AE， 2 =4，ABDAEM BD =EMDB = DC，ME = DC 21. 猜想：（1）证明：延长BP至E，使，联结CE为等边三角形，为等边三角形即：（2）方法一：在AD外侧作等边则点P在三角形ADB外由（1）得在中，有，、是等边三角形即：方法二：延长DP到M使，联结AM、BM是等边三角形， 是等边三角形在中，有，22（1） AE=AB+DE ； -1分（2）解：猜想：AE=AB+DE+-2分证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CGC是BD边的中点，CB=CD=AC平分，BAC=FACAF=AB，AC=AC，ABCAFC. CF=CB，BCA=FCA-4分同理可证：CD=CG，DCE=GCE CB=CD，CG=CF，BCA+DCE=180-120=60图（2）FCA+GCE=60FCG=60图（3）FGC是等边三角形-5分FG=FC=AE=AF+EG+FGAE=AB+DE+-6分（3） -7分 23解：（1） ABAC= PB； -1分 证明：在AB上截取AD，使AD=AC（如图7）图7AP平分CAB， 1=2在ACP和ADP中， AC =AD， 1 =2， AP=AP，ACPADP C =3ABC中，CAB=221=42 ，ABC=32，C =180CABABC =1804232 = 1063 =106 4 =1803=180106=74， 5 =3ABC=10632=744 =5PB=DBABAC= ABAD=DB=PB （2）方法一：延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM（如图8） 图8AP平分CAB，CAB=，1=2=在AMP和ABP中， AM =AB， 1 =2， AP=AP，AMPABP PM=PB，3 =4 ABC=60，CBP=30，4=(60)30 =303 =4 =30 AMB中，AM=AB，AMB=ABM =(180MAB)2 =(180)2 =905=AMB3= (90)(30)=60PMB为等边三角形 6=ABMABC = (90)(60)=30，6=CBPBC平分PBMBC垂直平分PMCP=CM7 =3 = 30ACP=73=(30)(30)=60ACP中，APC=1801ACP=180(60)=120 方法二：在AB上截取AM，使AM=AC，连接PM，延长AP交BC于N，连接MN（如图9） 图9AP平分CAB，CAB=，1=2=在ACN和AMN中， AC =AM， 1 =2， AN=AN，ACNAMN 3 =4 ABC=60，3=2NBA=(60) =603 =4 =605=18034=1806060=604 =5 NM平分PNBCBP=30，6=3NBP=6030=306=NBPNP=NBNM垂直平分PBMP=MB7 =867 =NBP8，即NPM=NBM =60 APM=180NPM =180(60)=120在ACP和AMP中， AC =AM， 1 =2， AP=AP，ACPAMP APC=APM APC=120 24解：（1 ）证明：连接ND ，AO 平分BAC ， 1= 2 ， 直线l AO 于H ， 4= 5=90 ， 6= 7 ， AN=AC ， NH=CH ， AH 是线段NC 的中垂线， DN=DC ， 8= 9 AND= ACB ， AND= B+ 3 ，ACB=2 B ， B= 3 ， BN=DN， BN=DC ；（2 ）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE 。证明：过点C 作CN AO 交AB 于N， 由（1 ）可得BN=CD ，AN=AC ，AN=AE 4= 3 ，NN=CE ，过点C 作CG AB 交直线l 于G ，4= 2 ，B= 1 ，2= 3 ，CG=CE ，M 是BC 中点，BM=CM， 在BNM 和CGM 中，BNM CGM， BN=CG ，BN=CE， CD=BN=NN+BN=2CE ；（3 ）BN 、CE 、CD 之间的等量关系： 当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ； 当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ； 当点M 在CB 的延长线上时，CD=C