【原创】《博雅高考》2015届高三数学三轮高频考点新题演练：空间向量(含解析).doc

2015届高三数学三轮高频考点新题演练：空间向量（含解析）1若平面与的法向量分别是=（1，0，2），=（1，0，2），则平面与的位置关系是（ ）A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.无法判断2设两不同直线a，b的方向向量分别是，平面的法向量是，则下列推理； ；其中正确的命题序号是（ ）A. B. C. D.3如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面底面，给出下列四个结论：；直线与平面所成的角为；.其中正确的结论是（ ）A. B. C. D.4已知向量，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )A B C4 D8 5三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，则和所成角余弦值的取值范围是（ ）A B C D6如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为( )A. B. C. D.7已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k值是()A1 B C D8在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A B且 C且 D且9在空间直角坐标系中，轴上有一点到已知点和点的距离相等，则点的坐标是 .10若O（0，0，0），P（x，y，z），且|OP|=1，则x2+y2+z2=1表示的图形是 _11（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（）求证:平面；（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值12如图,已知平面,是正三角形,且是的中点.（1）求证:平面;（2）求证:平面平面;（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.13（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，.（）求证：；（）若，求二面角的余弦值.参考答案1A【解析】根据题意，算出+=（0，0，0），得+=即，由此可得平面与的法向量平行，即得平面与互相平行解：=（1，0，2），=（1，0，2），+=（11，0+0，2+2）=（0，0，0），即+=由此可得、分别是平面与的法向量平面与的法向量平行，可得平面与互相平行点评：本题给出两个平面与的法向量，判断两个平面的位置关系，着重考查了向量的平行与共线、面面平行的判定等知识，属于基础题2B【解析】根据两条直线的方向向量平行，则两条直线平行，两条直线的方向向量垂直，两条直线也垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直，我们结合空间直线与直，直线与平面位置关系的判断方法，逐一分析已知中的四个命题，即可得到答案解：若 ，则b，故错误；若则，故正确；若，则b，故正确；若，则 ，又由b，故b，故正确；故选B点评：本题考查的知识点是向量方法证明线、面位置关系，其中熟练掌握两条直线的方向向量的夹角与直线夹角的关系，直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面夹角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角之间的关系，是解答此类问题的关键3C.【解析】如图过作，为垂足，连结，如图建立空间直角坐标系，：侧棱与底面所成的角为，为锐角，侧面底面，又由三棱柱各棱长相等，可知四边形为菱形，正确；：易知，错误；：由题意得即为与平面所成的角，正确；：由，正确.4B【解析】首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面5C.【解析】以为原点，分别,为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，, ，则由，得出，.于是向量，所以，令，则.因为对称轴为，所以关于为递增函数，关于为递增函数.又因为与独立取值，所以，所以和所成角余弦值的取值范围为，即为所求.6B【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得可取n1(1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1,1)，故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为.故选B.7D【解析】由的坐标可得，两向量互相垂直则，即，解得8D 【解析】三棱锥在平面上的投影为，所以，设在平面、平面上的投影分别为、，则在平面、上的投影分别为、，因为，所以，故选D.9【解析】设的坐标是（0，y，0），则 ，解得 ，故的坐标是（0，4，0）.10以原点O为球心，以1为半径的球面【解析】由题意可知，直接说明P的轨迹图形即可解：O（0，0，0），P（x，y，z），且|OP|=1，即x2+y2+z2=1，所以x2+y2+z2=1表示的图形是：以原点O为球心，以1为半径的球面故答案为：以原点O为球心，以1为半径的球面点评：本题是基础题，考查空间两点的距离的求法，表达式的几何意义，考查逻辑推理能力11（）（）详见解析；（）【解析】法一：用几何关系证明和求值.（）连结交于，证即可；（）先证平面，再证平面即可；（）由三垂线定理先作出二面角的平面角，根据数据关系求之即可.法二：建立空间直角坐标系，用空间向量证明求解.试题解析：方法一：（）证明：连结交于，连结 是正方形， 是的中点 是的中点，是的中位线 2分 又平面，平面， 平面 4分 （）证明：由条件有 平面，且平面 又 是的中点， 平面 平面 6分 由已知 平面又平面 平面平面 8分 （）取中点，则作于，连结 底面，底面为在平面内的射影, 为二面角的平面角 10分设，在中， 二面角的余弦的大小为 12分 方法二：（）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由,可设，则， ， ,即有 6分又且平面 又平面 平面平面 8分（） 底面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为, , 则即, 令,则 10分, 由作图可知二面角为锐二面角二面角的余弦值为 12分12（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP|DE，且且FP=，而AB|DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF|BP，AF平面BCE，BP平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据AB平面ACD，DE|AB，则DE平面ACD，又AF平面ACD，根据线面垂直的性质可知，满足线面垂直的判定定理，证得AF平面CDE，又BP|AF，则BP平面CDE，BP平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Fxyz设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为，根据可求出所求解：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP, F为CD的中点,FP|DE,且FP= 又AB|DE,且AB=AB|FP,且AB=FP, ABPF为平行四边形,AF|BP 又平面BCE,BP平面BCE, AF|平面BCE （2）ACD为正三角形,. AB平面ACD,DE|AB, DE平面ACD,又AF平面ACD, DEAF.又AFCD,CDDE=D, AF平面CDE 又BP|AF,BP平面CDE.又BP平面BCE, 平面BCE平面CDE （3）法一、由（2）,以F为坐标原点, FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴（如图）, 建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2, 则C（0,1,0）, 设为平面BCE的法向量， ，令n=1,则 显然,为平面ACD的法向量. 设面BCE与面ACD所成锐二面角为 则. 即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为 法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO. 则面面. 由AB是的中位线,则. 在中, . ,又. 面而CE面ECD, 在中， 即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为. 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定13（1）证明详见解析；（2）.【解析】本题主要考查线线垂直、线面垂直、二面角等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力.第一问，连结AC1，CB1，取中点，连结、，由于ACC1和B1CC1皆为正三角形，所以CC1OA，CC1OB1，所以利用线面垂直的判定，得到CC1平面OAB1，再利用线面垂直的性质得到CC1AB1；第二问，利用向量法，利用第一问的相互垂直关系建立空间直角坐标系，写出相应的的坐标及相应向量的坐标，求出平面CAB1和平面A1AB1的法向量，再利用夹角公式求出，最后判断出二面角是钝角还是锐角.解：（）证明：连AC1，CB1，则ACC1和B1CC1皆为正三角形取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1OA，CC1OB1，则CC1平面OAB1，则CC1AB1 4分（）由（）知，OAOB1，又AB1，所以OAOB1如图